Bonjour,

J'essaye de résoudre le problème suivant:

Dans une ville seulement trois journaux sont publiés. Ce sont les suivants: il Mattino, il Pomeriggio et la Sera.
40% des habitants de cette ville lisent il Mattino.
30% lisent il Pomeriggio.
10% lisent la Sera.

Par ailleurs, ils sont 15% à lire il Mattino ET il Pomeriggio.
7% lisent il Mattino ET il Sera.
5% lisent il Pomeriggio ET il Sera.
Enfin, ils sont 2% à lire les trois journaux.

Question: Quel est le pourcentage de gens qui ne lisent AUCUN journal.

note: la réponse au problème est 45% mais j'aimerais bien comprendre comment aboutir à ce résultat.

j'ai essayé une multitude de chose sans succès, je vous explique rapidement un de mes raisonnements: j'ai pensé que je devais séparer les lecteurs "uniques" (dans le sens de lecteur qui ne lit qu'un seul et unique journal) aux lecteurs qui lisent plusieurs journaux en même temps. Il me suffira d'additionner les lecteurs "uniques" et les lecteurs "multiples" afin de connaître combien de personnes lisent un ou des journaux et donc finalement de savoir combien ne lisent aucun journal.

par exemple:

je sais que 40 habitants lisent il Mattino (supposons que cette ville ne contient que 100 personnes).
mais je sais aussi qu'ils sont 15+7+2 = 24 à lire plusieurs journaux dont il Mattino .
J'en déduis donc que 40 - 24 = 16 il y a donc que 16 habitants qui ne lisent uniquement il Mattino.

je répète l'opération pour il Pomeriggio et je trouve 8 lecteurs uniques.

par contre après je suis perdu, il y a un problème pour la Sera. Il est dit qu'ils ne sont que 10 à lire la Sera mais si on compte les lecteurs qui lisent il Mattino et il Sera et les lecteurs qui lisent il Pomeriggio et il Sera on obtient déjà 12 personnes ! ce qui est illogique puisqu'ils ne sont censés être qu'au maximum 10 !

merci de votre aide

Hmmm... Pour ce que tu trouves illogique :
Il n'est pas écrit que les 7 personnes ne lisent QUE il Mattino et il Sera. Ceux qui lisent les trois lisent aussi il Mattino et il Sera, une partie est donc peut être comprise dedans =)

Edit : par contre je n'arrive pas à comprendre le début de l'énoncé...

Citation : noob4ever

40% des habitants de cette ville lisent il Mattino.
30% lisent il Pomeriggio.
10% lisent la Sera.

que font donc les 20% restant ?

Tu veux dire que par exemple dans les 7% qui lisent il Mattino et il Sera, il faudrait en réalité enlever les 2% de gens qui lisent les trois journaux qui pourraient être compris dedans ? et donc obtenir 5% au final ? ça me parait trop vicieux et du coup bien plus compliqué.

edit:

Citation

que font donc les 20% restant ?

je pense qu'on en déduit qu'ils ne lisent rien ?

Soit A l'ensemble des habitants de cette ville qui lisent il Mattino.
B celui de ceux qui lisent il Pomeriggio.
C de celui qui lisent la Sera.
p(X) est le pourcentage de la population dans X.
<math>\(p(A)=40\)</math>
<math>\(p(B)=30\)</math>
<math>\(p(C)=10\)</math>
<math>\(p(A \cap B)=15\)</math>
<math>\(p(A \cap C)=7\)</math>
<math>\(p(B \cap C)=5\)</math>
<math>\(p(A \cap B \cap C)=2\)</math>

On cherche <math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})\)</math>.
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=p(\overline{A \cup B \cup C})\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=100-p(A \cup B \cup C)\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=100-p(A \cup (B \cup C))\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=100-(p(A) + p(B \cup C)-p(A\cap(B\cup C)))\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=100-(p(A) + p(B) + p(C)-p(B\cap C)-p((A\cap B)\cup(A\cap C)))\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=100-(p(A) + p(B) + p(C)-p(B\cap C)-(p(A\cap B)+p(A\cap C)-p((A\cap B)\cap(A\cap C))))\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=100-(p(A) + p(B) + p(C)-p(B\cap C)-(p(A\cap B)+p(A\cap C)-p(A\cap B\cap C)))\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=100-p(A)-p(B)-p(C)+p(B\cap C)+p(A\cap B)+p(A\cap C)-p(A\cap B\cap C)\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=100-40-30-10+5+15+7-2\)</math>
<math>\(p(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=45\)</math>

J'ai réussi à tomber sur 45%, voilà comment j'ai raisonné :

Admettons pour simplifier les choses que notre village comporte 100 habitants, et que il Matinno, il Pomeriggio e il Sera seront respectivement notés M, P et S.
là dessus, la seule chose dont on est sûr c'est qu'il y en a 2 qui lisent les trois journaux.
A partir de là, si il y en a deux qui lisent les trois journaux on peut remonter au nombre de personnes n'en lisant que deux. Il suffit de soustraire ces deux personnes à chaque fois puisque celles qui lisent trois en lisent forcément 2
Ce qui nous donne :
- 5 personnes ne lisent QUE M et S
- 3 personnes ne lisent QUE P et S
- 13 personnes ne lisent QUE P et M

et ensuite on remonte encore d'un cran pour trouver les personnes ne lisant qu'un seul journal, de la façon que tu as expliqué dans ton 1er post
soit :
- 20 personnes ne lisent QUE M
- 10 personnes ne lisent QUE S
- 0 persnnes ne lisent QUE S

Ensuite il suffit d'additionner tout ça, de soustraire à 100 et on tombe sur 45 =]

Essai de faire un schéma avec des ensembles c'est comme ça que je m'en suis sorti

C'est une histoire de cardinal d'ensemble.
Ici, il y a 3 ensembles :

• <math>\(A\)</math> : ceux qui lisent le premier journal
• <math>\(B\)</math> : ceux qui lisent le second journal
• <math>\(C\)</math> : ceux qui lisent le dernier journal

Malheureusement, ces trois ensembles ont des éléments en commun et il faut utiliser la formule (classique) suivante :

<math>\(Card(A\cup B\cup C) = (Card(A)+Card(B)+Card(C)) - (Card(A\cap B)+Card(A\cap C)+Card(B\cap C)) +Card(A\cap B\cap C)\)</math>

Qui se comprend comme suit : on compte les lecteurs de tous les journaux, puis on enlève ceux qu'on a compté 2 fois, puis on rajoute ceux qu'on a enlevé une fois de trop (car appartenant aux trois ensembles)

Si on applique cette formule a ton cas, on trouve : <math>\(40+30+10-(15+7+5)+2=82-27=55\)</math> ce qui laisse bien 45% de personnes ne lisant rien.

Citation : rushia

Malheureusement, ces trois ensembles ont des éléments en commun et il faut utiliser la formule (classique) suivante :

<math>\(Card(A\cup B\cup C) = (Card(A)+Card(B)+Card(C)) - (Card(A\cap B)+Card(A\cap C)+Card(B\cap C)) +Card(A\cap B\cap C)\)</math>

Oui en fait je l'ai redémontrée ( ou plutôt retrouvée vu que je la connaissais pas... ) à partir de <math>\(card(A\cup B)=card(A)+card(B)-card(A\cap B)\)</math>
Est ce que tu sais s'il y a une généralisation de cette formule pour n ensembles ?
(<math>\(Card(\cup_{i=1}^nA_i)=?\)</math>)
( c'est pas pour répondre au problème initial là, c'est juste pour savoir )

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Poincar%C3%A9

Tout à fait, c'est la formule du crible.
Elle doit pouvoir se démontrer par récurrence ou par l'utilisation des fonctions indicatrices (méthode préférée par mon prof de spé)

Ok, merci

Merci à tous .