Salut,

J'ai un bête problème sur une équation différentielle du premier ordre à cœficients non constants, la voici:


Voici la solution que j'ai trouvé pour l'équation homogène:


Ensuite, je dis "Soit h une fonction telle que <math>\(g(x) = xh(x)e^{\frac{x^3}{3}}\)</math> soit solution générale de <math>\((E_1)\)</math>.", et c'est là que je bloque, qu'est-ce que je dois faire, dériver <math>\(g\)</math>, puis remplacer <math>\(y\)</math> et <math>\(y'\)</math> dans <math>\((E_1)\)</math> ?
Si je fais ça, je trouve un calcul assez compliqué, et j'ai pas trouvé de simplifications...

Donc, si quelqu'un pourrait m'aider, ça serait cool
Merci

Bonjour,

Citation : Sub-Zéro

dériver <math>\(g\)</math>, puis remplacer <math>\(y\)</math> et <math>\(y'\)</math> dans <math>\((E_1)\)</math> ?
Si je fais ça, je trouve un calcul assez compliqué, et j'ai pas trouvé de simplifications...

Oui, c'est ça qu'il faut faire. Tu as dû faire une erreur de dérivation car moi je tombe sur quelque chose d'assez simple.

En dérivant, je trouve <math>\(g'(x) = xh'(x)e^{\frac{x^3}{3}} + h(x)(e^{\frac{x^3}{3}} + x^3e^{\frac{x^3}{3}})\)</math>

En remplaçant, ça donne : <math>\(xh'(x)e^{\frac{x^3}{3}} + h(x)(e^{\frac{x^3}{3}} + x^3e^{\frac{x^3}{3}}) - (x^2 + \frac{1}{x})xh(x)e^{\frac{x^3}{3}} = x^3e^{\frac{x^3}{3}}\)</math>, après je dois manquer une simplification...
Déja, je peux diviser par <math>\(e^{\frac{x^3}{3}}\)</math>, mais ça m'avance pas beaucoup:


Arf, c'est bien ce que je me disais, des simplifications qui m'étais passées sous le nez, les maths, c'est vraiment pas ma tasse de thé
Finalement, je trouve <math>\(g(x) = \frac{1}{4}x^4 + \alpha, \ \alpha \in \Re\)</math>, c'est bien ça ?

[EDIT:]
Maintenant, j'ai un autre problème avec la suite de l'exo, il y a cette équation différentielle:

Elle a la même équation homogène que la précédente, puis pour la solution générale, je trouve <math>\(g_2(x) = xh_2(x)e^{\frac{x^3}{3}}\)</math>. Ensuite, je trouve <math>\(h_2'(x) = xcos(\pi x)\)</math>, comment je fais maintenant pour trouver <math>\(h_2(x)\)</math>, me dites pas que je dois faire une intégration par partie ?

Ce que tu trouves pour g n'est pas correct, certainement une petite erreur de calcul

Si on reprends à partir de la variation de la constante :

1. On a trouvé comme solution de l'équation homogène associée <math>\(y(x)=\alpha x e^{\frac{x^3}{3}}\)</math> où <math>\(\alpha\)</math> est une constante réelle.
2. Pour la méthode de la variation de la constante, on suppose désormais que <math>\(\alpha : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)</math> est une fonction dérivable ; on cherche les solutions de <math>\((E_1)\)</math> sous la forme <math>\(y(x)=\alpha(x) x e^{\frac{x^3}{3}}\)</math>.
   On raisonne ensuite par équivalence :
   y est solution de <math>\((E_1) \Longleftrightarrow y'-(x^2+\frac{1}{x})y=x^3 e^{\frac{x^3}{3}}\)</math>
   <math>\(\Longleftrightarrow [\alpha'(x) x e^{\frac{x^3}{3}} + \alpha(x) e^{\frac{x^3}{3}} + \alpha(x) x x^2 e^{\frac{x^3}{3}}] - (x^2+\frac{1}{x})\alpha(x) x e^{\frac{x^3}{3}}=x^3 e^{\frac{x^3}{3}}\)</math>
   <math>\(\Longleftrightarrow \alpha'(x) x e^{\frac{x^3}{3}}=x^3 e^{\frac{x^3}{3}}\)</math> : il ne doit rester que le terme contenant la dérivée de ta "constante" qui varie, c'est un moyen pour vérifier que tu ne t'es pas trompé
   <math>\(\Longleftrightarrow \alpha'(x)=x^2\)</math>
   <math>\(\Longleftrightarrow \alpha(x)=\frac{x^3}{3}+C\)</math> : on prend le cas le plus simple, soit avec <math>\(C=0\)</math>
   Finalement, en remplaçant l'expression de <math>\(\alpha(x)\)</math> dans <math>\(y(x)\)</math>, on obtient la solution particulière de <math>\((E_1)\)</math> suivante : <math>\(y(x)=\frac{x^4}{3} e^{\frac{x^3}{3}}\)</math>.

La solution générale de ton équation différentielle <math>\((E_1)\)</math> est donc égale à la somme de la solution de l'équation homogène associée et de la solution particulière de <math>\((E_1)\)</math>, soit


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En ce qui concerne ta deuxième équation différentielle :

1. Tu as effectivement la même équation homogène associée que précédemment, donc la même solution <math>\(y(x)=\alpha x e^{\frac{x^3}{3}}\)</math> où <math>\(\alpha\)</math> est une constante réelle.
2. La méthode de la variation de la constante te permet d'arriver à l'équivalence
   <math>\(y(x)=\alpha(x) x e^{\frac{x^3}{3}}\)</math> solution de <math>\((E_2) \Longleftrightarrow \alpha'(x)=cos(x \pi)\)</math> : pas besoin de faire une intégration par partie, car le cosinus s'intègre très facilement

Je te donne la solution finale de (E_2) pour que tu puisses vérifier tes résultats :