Bonjour à vous ! J'ai quelques questions :

• Pour un polynôme de degré 2, quelle est la forme canonique ? <math>\(a(x + \alpha)^2 + \beta\)</math> ou <math>\(a[(x + \alpha)^2 - \beta]\)</math> Et aussi pourquoi l'une et pas l'autre ?
• L'approximation affine est la suivante : <math>\(f(a+h) \approx f(a) +h f'(a)\)</math> Comment choisir h, pourquoi faire une approximation et avez-vous des exemples ?
• Existe-t-il des relations analogues à celle là : <math>\(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\)</math> (et comment le démontrer )
• Pourquoi ça ? <math>\(0! = 1\)</math>
• À quoi sert ces symboles et comment les utiliser ? <math>\(\prod \coprod\)</math>
• Le taux de variation est : <math>\(T(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)</math> et la dérivé : <math>\(f'(x) = \lim_{h \to 0} T(x)\)</math>. C'est une définition que je n'ai jamais saisi, mais je voudrais savoir à quoi cela correspond.

Merci à vous pour vos réponses !

Le trinôme du second degré <math>\(ax^{2} + bx + c\)</math> peut s'écrire sous la forme canonique :

<math>\(a((x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}})\)</math> donc sous la forme <math>\(a(x-\alpha)^{2}+\beta)\)</math> avec <math>\(\alpha=\frac{-b}{2a}\)</math> et <math>\(\beta=\frac{Delta}{4a}^{2}\)</math>

On utilise l'approximation affine pour savoir "graphiquement" lorsque la courbe de la fonction f est au voisinage d'un point a.

Pour le facteur réel de 0 je pense que c'est une convention (je ne suis vraiment pas sure)

<math>\($n!=\prod_{k=1}^n k$\)</math>

Pour les symbole c'est pour être plus simple dans l'écriture : écrire un produit ou une somme est beaucoup moins long avec un symbole et personnellement je trouve que c'est beaucoup plus claire.


Pour le taux de variation, c'est le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point.

Relis ton cours de première, et essayes de visualiser les définitions graphiquement, il doit y avoir des exemples sur ton livre.

Salut

• L'approximation affine reste valable tant que h reste petit. L'approximation sert à "simplifier" les calculs comme tu le feras peut-être plus tard avec les développements limités.
• Pour la relation que tu donnes, tu mets au carré des deux côtés et tu développes l'expression au carré. Tu auras ainsi une égalité et tu verras le résultat apparaître.
• 0! = 1 est une convention de manière à pouvoir effectuer des calculs. Il existe d'autres conventions du même genre comme <math>\(x^0 = 1\)</math>, ça ne sort pas de nul part, c'est pratique.
• Le premier signe signifie produit, par exemple n! = produit des i pour i variant de 1 à n (<math>\(\prod_{i=1}^{n} i\)</math>)
• Cette définition correspond au coefficient directeur de la tangeante à la courbe : tu prends deux points a et b, tu les relies, et tu fais tendre a vers b pour que la droite soit tangeante. (Exemple graphique illustré sur Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9ri [...] tion_formelle )

Citation : log_i

Bonjour à vous !

Bonjour

Citation : log_i

• L'approximation affine est la suivante : <math>\(f(a+h) \approx f(a) +h f'(a)\)</math> Comment choisir h, pourquoi faire une approximation et avez-vous des exemples ?

Si tu fais des maths dans le supérieur, tu verras les développements limités, très utiles en physique qui permettent de faire des approximations des fonctions que tu connais peut-être déjà <math>\(\sin{x} \cos{x}\)</math> etc.

Citation : log_i

Bonjour à vous ! J'ai quelques questions :

• Existe-t-il des relations analogues à celle là : <math>\(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\)</math> (et comment le démontrer )

Je ne la connaissais pas mais elle se démontre facilement avec les identités remarquables.

Si <math>\(a>0\)</math> et <math>\(b>0\)</math> :
<math>\(\begin{align} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2+2\sqrt{ab}} \\&=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2} \\&=\sqrt{a} + \sqrt{b}\end{align}\)</math>

Citation : log_i

Bonjour à vous ! J'ai quelques questions :

• Pourquoi ça ? <math>\(0! = 1\)</math>

À la base c'était une convention, mais si ça t'intéresse tu peux regarder du côté de la fonction <math>\(\Gamma\)</math> (gamma).

Pour l'approximation affine, prenons l'exemple de la sinus au point 0 : <math>\(\sin h \approx h\)</math>. Eh bien, c'est pratique pour calculer les sinus de petits angles (<math>\(h \approx 0\)</math>). Par exemple, <math>\(\sin 0.05 = 0,049979169 \approx 0.05\)</math>

Merci à vous. Par contre je n'ai pas saisi l'exemple avec les sinus et cosinus là... Et puis je sais à quoi correspond : <math>\(T(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)</math> et la dérivé : <math>\(f'(x) = \lim_{h \to 0} T(x)\)</math>, mais je veux savoir pourquoi ça et pas autre chose comme <math>\(T(x) = \frac{f(7x)-f(x^2)}{hx}\)</math> et la dérivé : <math>\(f'(x) = \lim_{h \to x} T(x)\)</math>. Comment on trouve et définit le taux de variation et pourquoi la dérivé l'utilise quand h tends vers 0 ?

La dérivée en un point de la fonction est la pente de la tangente à la fonction en ce point. Sur le schéma suivant, on cherche la dérivée au point P.



Si tu traces la droite rouge qui joint <math>\(P(a,f(a))\)</math> et un point Q de la courbe situé un peu plus loin (à <math>\(a+h\)</math>), ce point est de coordonnées <math>\((a+h, f(a+h)\)</math>)
Si Q se rapproche de plus en plus de P (donc que h tend vers 0), la droite rouge devient la droite bleue, qui est la tangente à la courbe.
La pente d'une droite dont tu connais deux points P et Q est donnée par:
<math>\(T = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q -y_P}{x_Q - x_P}\)</math>

Si on calcule la pente de la droite rouge, on a donc:
<math>\(T(x=a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h) -a}\)</math>
et donc la dérivée, comme on a dit, c'est la limite de cette pente quand h tend vers 0

Ok merci beaucoup !

Et pour l'approximation affine ? Vous n'avez pas un exemple concret ?

Eh bien Krosian t'as donné un exemple d'utilisation : lorsque h est petit, <math>\(sin(h)\approx h\)</math>. C'est directement l'application de la formule que tu donnes : <math>\(\sin(0+h)\approx\sin(0) + h\sin'(0)\)</math> (et sin'=cos, donc sin'(0)=cos(0)=1). Et cela est très pratique, en maths comme en physique ; que préfères-tu manipuler comme expression, ceci :
<math>\(sin(h)=\frac{(1+h)^2}{1+sin(h)}\)</math>

ou alors, ceci :
<math>\(h =\frac{(1+h)^2}{1+h}\)</math>
??