Salut,
Voilà il y a une question qui me hante à propos des matrices associées a f.

Orto. : Orthogonale
T : Transposée

Donc l'énoncé est Si A appartient a Mnxm(R) donc, (Img(A))^Orto. = Ker(A^T)
Vrai ou faux. (ma solution dit que c'est vrai, la question est pourquoi...!!?)

Donc je disais que mon problème est que je ne sais pas ce que représente la matrice transposée. Est-ce parce que la matrice est orthogonale? donc A^T = A^-1 ??

Merci de votre aide,

Salut,

Alors d'abord, non il n'y a pas besoin que la matrice soit orthogonale, cette formule est toujours vraie. Ensuite, il n'y a pas spécialement besoin de savoir ce que "représente" la matrice transposée pour résoudre cette question.

Je te conseille d'écrire les définitions : qu'est ce que cela signifie que <math>\(x\in Ker(A^T)\)</math> et qu'est ce que cela signifie que <math>\(x\in Im(A)^\bot\)</math> puis essayer de passer de l'un à l'autre par des équivalences.

Indice 1 (pour partir du côté du Ker) : à partir de la définition prend la transposée pour faire disparaître le <math>\(A^T\)</math> et n'avoir plus qu'un <math>\(A\)</math> non transposé.

Indice 2 (pour partir du coté de l'Im) : Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul et le produit scalaire de <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> peut s'écrire <math>\(x^Ty\)</math>.

Normalement quatre ou cinq équivalences devraient suffire pour passer de l'un à l'autre.

D'accord, merci beaucoup, je voulais savoir ce que représentait la transposée parce que j'avais une autre question à propos des systèmes d'équations que j'ai oublié. C'était quelque chose du genre euuuuuu si Ax = b a solution donc A^Tx = 0 à solution unique (si je me rappelle bien).

bonsoir,
pour repondre à ta question sur la signification de la transposée d'une matrice. Elle correspond à la matrice de l'application adjointe.
plus précisément :

soit (E, <,> ) et (F, (,) ) deux espaces vectoriels de dimension finie munis de deux produits scalaires.
soit u une application linéaire de E dans F.

b = { e_1, e_2,.....,e_n } une base orthonormée de (E, <,> ).
b'= { f_1, f_2......, f_n } une base orthonormée de (F, (,) ).

on note A la matrice de u écrite de b dans b'.

fin des notations, maintenant les explications :


pour tout y € F,
l'application qui a x associe ( u(x) , y) est une forme linéaire sur E.
donc,puisque <,> est produit scalaire ,il existe
un unique élément de E, noté u*(y), vérifiant :

<x/u*(y)> = (u(x) , y ) [1]

on vérifie aisément que l'application de F dans E qui a y associe u*(y) est linéaire.

u* est l'application adjointe de u

maintenant le lien avec les matrices

ben tout simplement, A^t (transposée de A) correspond à la matrice de u* écrite de b' dans b.

en écrivant < e_i / u*( f_j ) > = ( u( e_i) / f_j ) , on obtient l'égalité classique sur les coefficients de sa matrice et sa transposée.
(je te laisse vérifié par toi même )

<italique></italique>