Bonjour,

J'ai remarqué quelque chose d'intriguant concernant une formule sur la somme des diviseurs d'un entier naturel n (sigma).

Il s'agit de cette égalité, qui semble vérifiée uniquement quand n est premier et pour certains premiers uniquement de plus : 

$$\sigma(\sigma(n)+n) = 2*\sigma(n)$$

J'ai dressé un début de liste des n premiers qui semblent correspondre et j'ai : 2,3,5,23,29,41,83.

Il me semble que cette propriété ne peut pas venir d'une propriété concernant les nombres premiers car l'égalité n'est pas vérifiée pour tout n premier.

Avez-vous une idée ? 

Merci à vous.

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Edité par Craw 1 avril 2019 à 19:15:25

Cette propriété est vraie si et seulement si ces 2 conditions sont vérifiées :

1. Que n soit premier

2. Que 2n+1 soit également premier

Et donc, tu as oublié 11 dans cette liste.

Effectivement j'ai oublié 11, merci pour la réponse.

la propriété est vraie si n est premier et si \(2n+1\) est premier. OK , c'est facile à prouver

mais dire vraie si et seulement si \(n\) est premier  ... j'ai un doute.

Rien ne dit que des entiers non premiers ne peuvent pas vérifier l'égalité. J'ai fait quelques tests et on peut tomber sur des écarts entre les deux membres de 1 ou 2...donc pourquoi pas zéro.

En tout cas si la conjecture \(n\) obligatoirement premier était vraie, je ne vois pas de preuve évidente. Mais je n'ai pas vraiment cherché. J'ai un programme qui calcule \(\sigma(n)\) 

Je vais regarder, en l'adaptant, si je trouve un contre-exemple.

edit

il semble que les messages forums en réponse ne fonctionnent plus sauf la frappe basique et mathjax ... la barre d'outils est devenue inutilisable .

cf les dernières pages de ce sujet dans fonctionnement forum. https://openclassrooms.com/forum/sujet/forum-plus-dediteur-markdown?page=5

...le début de la fin pour les forums actuels ? mais l'agonie a commencé déjà depuis pas mal de temps

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Edité par Sennacherib 4 avril 2019 à 7:09:56

En adaptant mon programme pour tester l'égalité, j'ai effectivement trouvé des nombres non premiers qui la vérifient. 

De 1 à 10.000,sauf oubli,  il y en aurait 19.

Voici les premiers 
329=7*47, 413=7*59, 623=7*89, 869=11*79. 
La plupart ont deux facteurs premiers mais pas tous. exemple: 2585=5*11*47

La décomposition solution la plus longue trouvée  :4235= 5*7*11*11 

 Une conjecture: sont ils en nombre infini? 

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Edité par Sennacherib 5 avril 2019 à 7:24:00

Bonjour,

Si j'ai bien compris il y aurait une infinité d'entiers premiers vérifiant la propriété (car infinité d'entiers n tels que 2n+1 soit premier et n soit également premier).

Par contre pour les entiers non premiers on ne sait pas. Donc les entiers non premiers vérifiant la propriété sont répartis aléatoirement, on n'a pas de formule pour les sortir.

Une autre propriété intéressante que je viens de découvrir mais que je ne sais pas expliquer !

Soit Pn le n-ième nombre premier et sigma la somme des diviseurs de n.

Quand $$\sqrt(\sigma(\sigma(n)-Pn))$$ est une racine qu'on ne peut pas simplifier on a alors un résultat du type $$\sqrt(A)$$ avec A un entier naturel. Quand A est pair et que la racine de A-1 n'est pas égale à un nombre premier alors A-1 est un nombre premier.

Exemple avec Pn=1033 1033 est le 174ème nombre premier donc on a : $$\sqrt(\sigma(\sigma(174)-1033)) = \sqrt(674)$$ 674 est pair et la racine de 673 n'est pas un nombre premier donc 673 est premier. J'ai pu tester l'hypothèse jusque Pn = 1033. EDIT : j'ai finalement trouvé un contre-exemple avec Pn=1231 et n=202. Néanmoins le fait que ça retourne beaucoup de nombres premiers est-il "normal" ?

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Edité par Craw 8 avril 2019 à 16:23:46

Quand tu dis : ' racine(X) est une racine qu'on ne peut pas simplifier', je vais le reformuler : X n'est pas un carré parfait.

Rien à ajouter.

Merci pour la réponse.

ta nouvelle conjecture me semble "moyennement" tenir la route ! Il n'y a pas besoin d'aller si loin pour trouver de nombreux  contre exemples .Pour les 50 premiers nombres premiers, sauf erreur ou oubli, j'en trouve déjà 11 pour 38 A pairs!

\(n=13,Pn=41,A=40, A-1=39=3.13\)

\(n=16,Pn=53,A=36, A-1=35=5.7\)

\(n=18,Pn=61,A=36, A-1=35=5.7\)

\(n=25,Pn=97,A=144, A-1=145=5.29\)

\(n=31,Pn=127,A=120, A-1=119=7.17\)

\(n=32,Pn=131,A=126, A-1=125=5^3\)

\(n=37,Pn=151,A=144, A-1=145=5.29\)

\(n=45,Pn=197,A=144, A-1=143=11.13\)

\(n=48,Pn=223,A=156, A-1=155=5.31\)

\(n=49,Pn=227,A=324, A-1=323=17.19\)

certes les premiers restent majoritaires, mais je ne vois pas trop comment conclure que le calcul renvoie un nombre de nombres premiers statistiquement "anormalement" élevé.

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Edité par Sennacherib 9 avril 2019 à 18:00:06

J'ai du mal m'exprimer. Tous les Pn que tu as testés renvoient des racines qui se simplifient. La conjecture est valable uniquement pour les racines qui ne se simplifient pas.

Exemple pour n=13 et Pn=41.

41 est le 13ème nombre premier donc on a : $$\sqrt(\sigma(\sigma(13)-41))) = \sqrt(40)$$

Or la racine de 40 se simplifie en 2racine(10). Donc on ne prend pas ce cas en compte.

Le premier contre exemple que je trouve vient pour Pn=1231 et n=202.

Du coup je ne sais pas si c'est intéressant, même si ça renvoie plein de premiers et que je n'ai trouvé qu'une seule exception pour l'instant.

EDIT : second contre-exemple pour Pn=1619 et n=256

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Edité par Craw 9 avril 2019 à 13:20:13

Alors il fallait dire que mon interprétation était incorrecte. J'avais compris comme Sennacherib, et tu avais validé mon interprétation.

J'avais mal compris.

Par contre je viens de voir que ça marche même quand Pn n'est pas associé au n correspondant. Donc je pense qu'il n'y a pas de lien avec Pn, juste que $$\sqrt(\sigma(\sigma(n)-n))$$ retourne déjà beaucoup de premiers quand la racine ne se simplifie pas.

Enfin c'est ce que je pense parce qu'il y a l'air d'avoir quand même plus de cas où ça ne marche pas (j'ai déjà trouvé plusieurs contre-exemples alors que je n'en avais que 2 en associant Pn au n correspondant).

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Edité par Craw 9 avril 2019 à 17:49:11

 Donc , en disant racine non simplifiable, si j'ai bien compris cette fois,  tu considères finalement uniquement des A pairs qui se décomposent en facteurs premiers à la puissance 1  tous distincts . 

dans tes deux contre-exemples, on aurait donc:

n=202 , \(\sigma(202)=306\) \(Pn-\sigma(202)=1231 -306 =925\),\(A=\sigma(925)=1178=2*19*31\) non simplifiable mais \(A-1=1177=11*107\) non premier 

n=256 , \(\sigma(256)=511\) \(Pn-\sigma(256)=1619 -511 =1108\),\(A=\sigma(1108)=1946=2*7*139\) non simplifiable mais \(A-1=1107=11*107\) non premier

par contre, dés que A pair peut s'écrire  sous la forme \(k\sqrt{B}\), k entier supérieur ou égal à 2, tu ne le considères pas. 

Mais à partir du moment où on trouve des contre-exemples, on ne voit pas trop que chercher à prouver . Un nombre infini de contre-exemples? 

Mais que la différence entre un nombre premier et la somme des diviseurs de son rang chronologique puisse induire des propriétés générales même pour des chemins détournés, c'est quand même assez mystérieux. On peut se demander si en fait, il n'y a pas simplement un biais dans la règle que tu fixes pour A qui finalement doit être uniquement un produit de facteurs premiers simples et que, si on enlève 1 à de tels nombre, la probabilité d'obtenir un nombre premier est statistiquement élevé...

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Edité par Sennacherib 9 avril 2019 à 18:59:16

Je pense que c'est un biais oui, de toute façon comme je l'ai dit je me suis aperçu qu'il n'y avait pas de lien avec Pn, on obtenait très souvent des nombres premiers même en modifiant légèrement la formule.