Bonsoir,
Il y a quelques jours, notre prof de maths nous a donné un QCM à faire pour clore le chapitre sur la fonction exponentielle.
Cependant dans ce QCM, je n'ai pas réussi algébriquement à trouver la réponse à une question, et une fois en cours, notre prof nous a dit que la méthode n'est plus à notre programme, donc elle nous a demandé d'imaginer graphiquement et de répondre sans justifier.

Voilà le problème :

Soit la fonction définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> par <math>\(f(x)=e^{\sqrt{x^2+1}}. On note <math>C\)</math> sa courbe représentative.

<math>\(C\)</math> admet une asymptote d'équation <math>\(y=x\)</math>. (vrai/faux)

J'ai essayé en calculant la limite en +/- l'infini de f(x)-x qui doit être égale à zéro mais sans succès.

Alors je viens vous voir pour vous demander quelle est cette méthode dont ma prof parle.

Merci d'avance !

<math>\(\begin{align} e^{\sqrt{x^2+1}}-x&>e^{\sqrt{x^2}}-x\\ &>e^{x}-x &\stackrel{x\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty \end{align}\)</math>
Donc par comparaisons <math>\(e^{\sqrt{x^2+1}}-x\stackrel{x\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty\)</math>.

Après, il y a peut-être une autre méthode par des développements asymptotiques; mais bon

Ah oui, je n'ai pas pensé à utiliser le théorème de comparaison.
Mais j'imagine que ce n'est pas cette méthode dont la prof parlait puisqu'on a vu les méthodes de comparaisons en cours...

Développements asymptotiques ? Peux-tu s'il te plaît m'en dire plus zMaths ?

• D'abord on peut faire des développements limités (DL): on prend une fonction et autour d'un point, on peut approcher le fonction par un polynôme. Autour de ce point la différence entre les deux est petite. Par exemple:
  <math>\(\sin{t}\stackrel{0}{=}x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^6)}\)</math>
  Le petite o, signifie que la quantité est négligeable devant la précédente: <math>\(\lim_{x\to 0}\frac{x^6}{x^5}=0\)</math>. En d'autres termes ce qui dans le petit o tend plus vite vers 0 que ce qui est avant.
  Un intérêt possible est le calcul de limite: <math>\(\frac{\sin(x)}{x}=\frac{x+o(x^2)}{x}=1+o(x)\stackrel{x\to 0}{\rightarrow} 1\)</math>
  Pour une fonction suffisamment dérivable à dérivée continue:
  <math>\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)x+f''(x_0)\frac{x ^2}{2!}+f^{(3)}(x_0)\frac{x^3}{3!}+\cdots+f^{(n)}(x_0)\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\)</math>
• Ensuite on peut faire des développement en série entière, on a par exemple:
  <math>\(e^x=\sum_ {k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}\)</math>
  
  C'est une généralisation des DL, sauf qu'ils ne sont plus limités
• Les valeurs des points où tu fais un DL est nécessairement fini, donc on peut faire un développement asymptotique (DA), c'est-à-dire des fonctions qui tendent vers l'infini. Par exemple:
  <math>\(e^{\sqrt{x^2+1}}=e^{x}\left(1+\frac{1}{2x}+\frac{1}{8x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\)</math>
  Tu obtiens une comparaison de le vitesse de convergente par rapport à d'autres fonctions.
  Le problème est qu'il faut choisir les fonctions en question et caluler le DA.

Edit: rajout des liens sur wikipedia

Ce n'est pas du tout automatique pour moi, j'ai cherché vite fait comment on trouve que <math>\(sin(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}...\)</math> en 0 par exemple.
Mais comment trouve-t-on le polynôme qui se rapproche de la fonction étudiée ? Il y a des démonstrations ? Des méthodes qui permettent d'y arriver ?

Est-ce que la fonction o(x) correspond à E (epsilon) dans la formule de la meilleure approximation affine ?

On le trouve en utilisant la formule de Taylor qui se démontre par récurrence. Quant à la fonction <math>\(\varepsilon\)</math>, il ne me semble pas, mais cela dépend de la définition qu'on t'a donné, mais c'est la même idée. . C'est quoi le <math>\(\varepsilon\)</math> en question ?

D'accord, merci, je vais essayer de comprendre cette formule même si je ne pense pas avoir tous les outils pour (intégrales).
<math>\(f(a+h)=f(a)+hf'(a)+h\epsilon (h)\)</math>

Avec <math>\(h\epsilon (h)\)</math> qui tend vers 0 en 0.

En fait <math>\(o(h)=h\varepsilon(h)\)</math>. Selon les cas, on utilises les deux notations.
Par contre les intégrales n'interviennent pas dans le calcul en pratique, mais c'est vrai que dans la démonstration c'est nécessaire.

Merci pour ces explications !