Je ne comprend pas ces deux égalités :

<math>\((\lim_{y \to 0} (1+y)^{1/y})^6 = e^6\)</math>

En fait, je ne vois pas le rapport avec les fonction du type (1+x)^1/x ou alors (1+1/x)^x et l'exponentielle.

Merci d'avance

Salut,

Pour a réel positif et x réel, la définition de a^x est :
<math>\(a^x=e^{x \ln a}\)</math>

En utilisant ça dans l'expression qui est à l'intérieur de la limite, tu dois pouvoir conclure.

Passe au logarithme népérien ta fonction, et étudie sa limite, ça va t'aider.

Citation : poleon

<math>\((\lim_{y \to 0} (1+y)^{1/y})^6 = e^6\)</math>

<math>\((1+y)^{1/y} = exp(\frac 1y ln(1+y))\)</math> !

Or en 0, <math>\(ln(1+y)\)</math> équivaut à y.

D'où <math>\(\lim_{y \to 0} (1+y)^{1/y} = e\)</math>

D'où le résultat que tu donnes

Merci pour vos explications, je commence a y voir plus clair mais il y a toujours un hic.

Citation : By.The.Hell

Or en 0, <math>\(ln(1+y)\)</math> équivaut à y.

Si c'était le cas, je comprend car du coup en remplaçant la fonction serait :
<math>\(e^{((1/y).y)}\)</math>
Et donc du coup les y s'annulent et la réponse est bien e, mais perso, quand je regarde la lim en zéro de ce que tu a noté, je vois ln(1+0) = ln 1 = 0.

Ou est mon erreur ?

Si tu es à l'université et qu'on te demande ça, c'est que tu dois connaitre les équivalents usuels, ou que tu dois être en train de voir ce chapitre.

La dérivée de f(x)=ln(1+x), 1/(1+x) vaut 1 en 0, donc son équivalent, <math>\(f(x) \approx f(0)+f'(0)*x/1! \approx 0 + x \approx x\)</math>

De manière générale, la suite <math>\(Un = (1+x/n)^{n}\)</math> converge vers <math>\(e^x\)</math>, c'est un exemple assez classique qui apparait souvent.

Il a pas dit la limite, mais équivaut, c'est un équivalent. Si tu ne l'as pas vu en cours alors oublie. (et ton prof préférera surment un développement limité avec passage à la limite proprement)

@By.The.Hell: La composition des équivalent à l'arrache, je suis pas certain que son prof approuve ...

Ha oui en effet, on l'a survolé ! En fait, on a vu les "approximations affines" et le " polynôme de taylor". Je suppose que c'est explicable avec ça ?
(Mais le problème, c'est q'en math notre prof nous fait 2 heure de dictée et donc on a pas le temps de réfléchir lorsqu'on écrit :D)
Et ça m'apprendra à ne pas revoir mes cours...

Tout devient plus clair maintenant, merci pour votre aide !

Citation : Freedom

@By.The.Hell: La composition des équivalent à l'arrache, je suis pas certain que son prof approuve ...

Ben que ce soit fait à l'arrache ou pas ça marche. Tu sais on peut aussi faire un dl de la fonction e tuti quanti si tu veux 100% de rigueur pour démontrer un pareil résultat

Oui je sais, c'est ce que j'ai écrit entre parenthèse d'ailleurs.

Ca marche sauf que si tu dis pas pourquoi tu as le droit de composer, et que tu es en composition noté (ou apprécié) de mathématiques, tu as de bonne chance de perdre des points.

Et oui le résultat est simple, mais si la question c'est "démontrer ..." alors c'est qu'on attend à ce que tu le fasses et proprment. De plus je doute qu'il ai vu des lois de compositions des équivalents si il vient juste de voir Taylor.

Petit up car je viens de tomber sur un article qui explique en détail (et d'une manière claire), toute la magie et la beauté de l'exponentielle

Ça peut sûrement en intéresser quelques-uns. Bonne lecture

http://betterexplained.com/articles/an [...] -functions-e/