Bonjour, je suis en classé prépa commerciale et j'ai quelques difficultés sur certaines applications du cours en maths voici quelques questions :

1.) Que vaut la limite de σ(a) où a appartient à R en 0, en un réel par exemple en 6, en + et - l'infini ?

2.)Quels sont les moyens pour montrer qu'une application est linéaire ? Et si possible donnez moi tous les cas de figure (matrice, fonctions,couples...) avec un ou des exemples. sur ce point, j'ai du mal particulièrement. j'ai beau refaire des exo je coince assez souvent lorsque cela porte sur les fonctions.

3.)Dans le domaine des probabilités, quelle est la différence entre incompatibilité et indépendance ?

4.)J'ai quelques problèmes avec les équivalents et surtout leur limite. Par exemple, lors d'un exo, j'ai trouvé un équivalent à une fonction, j'ai trouvé sa limite et j'ai dis que la limite de la fonction de base était la limite trouvée avec la fonction équivalente et là j'ai eu faux, mais je ne comprends pas pourquoi. Ma question principale est donc quand et comment peut-on utiliser les équivalents pour trouver les limites et vaut-il mieux utiliser le DL ou les équivalents ?

Pour l'instant j'ai ces quelques questions en tête. Je risque d'en reposer pendant les 4 prochains mois (concours en avril.) J'espère que vous allez pouvoir me donner un petit coup de main en m'expliquant cela clairement car là je nage un peu

Pour ce qui est des équivalents/DL, la chose super importante est qu'il ne faut jamais jamais jamais ajouter des équivalents. Par contre tu peux le faire avec les DL (et donc les o(x) ou O(x) ). Il faut aussi faire attention aux compositions d'équivalents quand on a des fonctions imbriquées.

Par exemple, on te demande la limite de la suite <math>\(Un=e^{1+n}/e^n\)</math>.
Tu peux dire comme un idiot "Bon, c'est un éxo d'équivalent, <math>\(1+n \sim n\)</math> donc <math>\(\lim Un=e^n/e^n=1\)</math> alors que la suite vaut exactement <math>\(e\)</math> pour tout n
Bref, il ne faut pas faire n'importe quoi !

1) Qu'est ce donc que <math>\(\sigma\)</math> ?

2) Pour montrer qu'une application est linéaire, il faut seulement vérifier la définition. En général c'est très facile et même évident. Par exemple la fonction <math>\(L^1(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\)</math> qui à une fonction <math>\(f\)</math> associe <math>\(\int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx\)</math> est linéaire (linéarité de l'intégrale que cela s'appelle) : <math>\(\forall \alpha \in \mathbb{R}\)</math> on a <math>\(\int_{\mathbb{R}} f(x)+\alpha\,g(x)\,dx = \int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx + \alpha\,\int_{\mathbb{R}} g(x)\,dx\)</math>.

3) Aucune idée de ce qu'est l'"incompatibilité".

4) Pas mieux que Bvic, les équivalents passent mal aux additions et à la composition. Dans ces cas là il faut systématiquement utiliser des DLs. D'ailleurs, tant que tu ne maitrises pas parfaitement les DLs, je te déconseille fortement d'utiliser des équivalents.

Enfin tu sembles avoir des lacunes énormes en maths, essaie de combler ça par un travail le plus assidu possible avant les concours. A priori, ces concepts sont censés être maitrisés dès la première année.

σ correspond à petit to. le dl.

"Enfin tu sembles avoir des lacunes énormes en maths, essaie de combler ça par un travail le plus assidu possible avant les concours. A priori, ces concepts sont censés être maitrisés dès la première année. " Chui en prépa commerciale éco et non scientifique Mais bon, j'avoue que chui un peu à la ramasse sur ces points car on a pas eu le temps de les traiter en première année. On fait du condenser en seconde année car faut rattraper

concernant : 2) Pour montrer qu'une application est linéaire, il faut seulement vérifier la définition. En général c'est très facile et même évident. Par exemple la fonction L^1(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} qui à une fonction f associe \int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx est linéaire (linéarité de l'intégrale que cela s'appelle) : \forall \alpha \in \mathbb{R} on a \int_{\mathbb{R}} f(x)+\alpha\,g(x)\,dx = \int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx + \alpha\,\int_{\mathbb{R}} g(x)\,dx.

ok, mais je coince dans les exemples concrets comme f(x)= 6x^3+5x²-x+2. je ne vois pas trop ce qu'il faut faire en fait.


Et là je viens d'avoir de nouveaux problèmes qui sont basiques
5.) si x=1/X alors X=1/x ?
6.)Est-ce que x*(2x²/4x²+2x+1+σ0(1/x²)=1/4x²+2x+1+σ0(1/x²) ?

ps : on a commencé le DL la semaine dernière d'où le fait que je ne connaisse pas tout.

1. Alors déjà c'est pas <math>\(\sigma\)</math> (qui se lit "sigma" et non pas "tau"), c'est <math>\(o\)</math>, c'est pas un tau, c'est un o (tu as du entendre "petit tau" au lieu de "petit o" car on fait la liaison à l'oral).
   Ensuite, il est important de comprendre que <math>\(o\)</math>n'est pas une fonction, c'est juste une notation pour parler d'un terme "négligeable devant un autre terme au voisinage d'une certaine valeur".
   Quand on veut être précis, on n'écris d'ailleurs pas <math>\(f(x) = o(x)\)</math> directement mais on précise où est-ce que <math>\(f\)</math> est négligeable devant <math>\(x\)</math>, par exemple <math>\(f(x) \underset{0}{=} o(x)\)</math>.
   Cette notation signifie que au voisinage de 0, f est négligeable devant <math>\(x\)</math>, c'est-à-dire que <math>\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0\)</math>.
   Il faut bien comprendre que cela ne fait que renseigner sur le comportement de <math>\(f\)</math>au voisinage de 0, cela ne permet pas de savoir quoi que ce soit sur la limite de <math>\(f\)</math> en <math>\(+\infty\)</math>, sa valeur en <math>\(3\)</math>, ni même sur sa valeur en <math>\(10^{-100}\)</math>, en gros ça te dit que si tu trace le graphe de <math>\(f\)</math>, en "zoomant" suffisamment sur l'origine (le "suffisamment" dépend de la fonction <math>\(f\)</math>, bien sûr), alors le graphe de <math>\(f\)</math> sera "largement en-dessous" du graphe de l'identité.
   Par contre, si tu écris <math>\(g(x) \underset{+\infty}{=} o(x)\)</math>, ça ne veut pas dire la même chose : ça veut dire que <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 0\)</math>, donc que si tu va "suffisamment loin" vers l'infini, le graphe de <math>\(g\)</math> sera "largement en dessous" de la droite d'équation <math>\(y = x\)</math>.
   Exemples : on a <math>\(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0\)</math>, donc on peut écrire <math>\(x^2 \underset{0}{=} o(x)\)</math> et on vérifie bien, si on trace la parabole d'équation <math>\(y = x^2\)</math>, que "suffisement près de 0", elle est "largement en-dessous" de la droite d'équation <math>\(y = x\)</math> (dès que <math>\(x\)</math> commence à être inférieur à <math>\(1\)</math>, presque).
   En revanche, <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} = +\infty \neq 0\)</math> donc <math>\(x^2 \underset{+\infty}{\neq} o(x)\)</math> ; par contre, puisque <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2} = 0\)</math>, on peut écrire <math>\(x \underset{+\infty}{=} o(x^2}\)</math> et on vérifie bien que, quand on va vers l'infini, la droite d'équation <math>\(y = x\)</math> est "largement en-dessous" de la parabole d'équation <math>\(y = x^2\)</math> (dès que x commence à être plus grand que 2 ou 3 même !).
2. Par définition, une application linéaire c'est une application <math>\(f\)</math> qui va d'un espace vectoriel <math>\(E\)</math> dans un espace vectoriel <math>\(F\)</math> telle que pour tous réels <math>\(\alpha\)</math> et <math>\(\beta\)</math> et pour tous vecteurs <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> de <math>\(E\)</math> (tu as peut-être vu la définition seulement avec le <math>\(\alpha\)</math>, mais en fait c'est équivalent - si cela ne te parait pas clair, essaie de montrer cette équivalence, cela peut t'aider à mieux comprendre !) on ait : <math>\(f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)\)</math>.
   Par exemple, si <math>\(f\)</math> est une fonction de <math>\(\mathbb{R}\)</math> dans lui-même telle que pour tout <math>\(x\)</math> réel on ait <math>\(f(x) = 6x^3+5x^2-x+2\)</math>, <math>\(f\)</math> n'est clairement pas linéaire : il suffit de prendre <math>\(\alpha = x = 0\)</math>, <math>\(\beta = 2\)</math> et <math>\(y = 1\)</math>.
   Si <math>\(f\)</math> était linéaire, on devrait avoir : <math>\(f(2) = f(0 \times 0 + 2 \times 1) = f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \times f(0) + 2 f(1) = 2 f(1)\)</math>.
   Pourtant, on a <math>\(f(2) = 6 \times 8 + 5 \times 4 - 2 + 2 = 68\)</math> et <math>\(f(1) = 6 \times 1 + 5 \times 1 - 1 + 2 = 12\)</math>, or jusqu'à nouvel ordre, <math>\(68 \neq 12\)</math>, donc <math>\(f\)</math> ne peut pas être linéaire.
   En fait, dès que tu as des multiplications par autre chose qu'une constante dans ta fonction, elle ne sera pas linéaire (sauf cas tordus que tu ne devrais pas rencontrer).
3. Je ne peux pas t'aider là-dessus, désolé.
4. Si ton équivalent était correct, et que cet équivalent admet une limite, alors ta fonction admet la même limite que l'équivalent, donc il ne devrait pas y avoir de problème.
   Peut-être ton équivalent était-il faux, ou l'énoncé précisait-il "en utilisant un développement limité" ?
   Ensuite pour l'utilisation des équivalents ou du développement limité, ça dépend des exercices, mais aussi des goûts de l'élève (enfin, quand on peut utiliser un équivalent, ça marche aussi avec un développement limité, l'inverse étant faux en général) ; moi par exemple je préfère utiliser les développements limités parce que je trouve qu'on "voit" mieux ce que l'on fait et que ça me semble plus rigoureux et qu'on risque moins de faire des erreurs.
5. Oui, bien sûr : <math>\(\frac{1}{\frac{1}{x}} = x\)</math>.
6. Je n'ai pas compris l'expression, et on ne sait pas où tu écris ce développement limité (en <math>\(+\infty\)</math> à priori), pourrais-tu la ré-écrire, si possible en utilisant la balise "math" de façon à ce que ça soit plus lisible (exemple d'utilisation - il y a tout ce dont tu risque d'avoir besoin : <math>x \times (\frac{1}{x+x^2} + 2) \underset{+\infty}{=} 2 \times x + o(x)</math> donne <math>\(x \times (\frac{1}{x+x^2} + 2) \underset{+\infty}{=} 2 \times x + o(x)\)</math>) ?

Bon allez, bravo si tu as lu tout ce pavé, j'espère qu'il t'aura été utile ; par contre ne t'attends pas à une réponse rapide de ma part si il y a quelque chose que tu n'as pas compris, je n'ai pas vraiment le temps d'aller sur internet en semaine (suis en prépa moi aussi ), mais d'autres personnes sauront sûrement t'éclairer sur ce que j'ai dit

Edit : Aladix, c'est quoi <math>\(L^1(\mathbb{R})\)</math> ? Fonctions intégrables sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> ?

Oui pardon, c'est bien l'ensemble des fonction intégrables (modulo deux-trois bidouilles).

Modulo le fait qu'elle soit continue, mais c'est tout :

<math>\(L^1(I,\mathbb{C})\)</math> avec I intervalle de <math>\(\mathbb{R}\)</math> d'intérieur non vide, est l'espace vectoriel des fonctions continues sur I et intégrables sur I.

Non modulo le quotient par "égalité presque partout", mais bref on sort vraiment du cadre là. La fonction peut être discontinue et même aussi dégueulasse qu'on le veut, dès l'instant que son intégrale à un sens et soit finie. En prépa on voit bien l'intégration des fonctions continues par morceaux !

Citation : Aladix

Non modulo le quotient par "égalité presque partout", mais bref on sort vraiment du cadre là. La fonction peut être discontinue et même aussi dégueulasse qu'on le veut, dès l'instant que son intégrale à un sens et soit finie. En prépa on voit bien l'intégration des fonctions continues par morceaux !

Je ne comprends pas ton "égalité presque partout". Oui, l'ensemble des fonctions continues par morceaux est aussi un espace vectoriel, sauf que L1 définit comme je l'ai mis est un espace vectoriel qui est aussi normé par <math>\(N : f \in L^1(I,\mathbb{C}) -> \int_I |f|\)</math> ce qui n'est as le cas si tu prends non continue (pour la séparation). Et c'est comme ca qu'on définit L1 en prépa.

Ok alors restons en à cette définition.

Citation : Aladix

Ok alors restons en à cette définition.

Heu, j'aurais bien aimé comprendre ton "égalité presque partout" quand même ... ca à l'air sympa comme condition.

En fait on peut définir l'intégrabilité de certainesfonctions sans avoir nécessairement la continuité (ni même la continuité par morceaux), par exemple la fonction caractéristique des rationnels est intégrable (d'intégrale nulle), elle coïncide avec la fonction nulle sauf sur un ensemble (les rationnels) dont la mesure nulle (en gros la mesure c'est la taille d'un ensemble). On dit qu'elle est égale presque partout à la fonction nulle, ce qui permet d'expliquer qu'elle ait la même intégrale que la fonction nulle.

D'accord, ca a quelque chose à voir entre la définition de l'intégrale au sens de Riemann (celle qu'on voit en prépa) et celle de Lebesgue ? Différence qui tient dans la facon de mesurer l'air sous la courbe si j'ai un peu près compris (Riemann c'est en "colonne" et Lebesgue plûtot en "ligne" ) ? Par contre, pour avoir un espace vectoriel normé on est bien obligé d'être continue ou on peut aussi restreindre un peu les conditions ?

Oui bien sur que ça a quelque chose à voir ! C'est ici la construction de Lebesgue. On obtient effectivement une algèbre de Banach, on flingue définitivement la continuité qui ne sert à rien en intégration et on a une classe de fonction énorme pour qui on peut donner un sens à l'intégrale.

Pour en revenir au post, je peux t'eclairer sur les proba.

Deux evenements sont dit imcompatibles lorsque tu ne peux pas avoir les deux en meme temps. Typiquement quand tu lances une piece tu as soit pile, soit face et certainement pas les deux. Les deux evenements "avoir pile" et "avoir face" sont incompatible (sur un seul lancer).
Dans tes calculs cela revient a avoir des probabilites conditionnelles nulle. En effet la probabilite d'avoir face sachant qu'on a pile est zero...
Dans les grand classiques d'evenements incompatibles tu as aussi le chat est soit mort soit vivant (et le premier qui dit le contraire se prend mon pied au cul)




L'independances de deux evenements c'est quand le fait d'avoir l'un n'influence pas la probabilite d'avoir l'autre.
Reprenons l'exemple du lancer de piece: lancons la piece une premiere fois et regardons ce que l'on obtient. La probabilite d'avoir face est de 0.5, idem pour pile (ma piece est equilibre).

Supposons pour l'exemple que l'on ai face. Quel est la probabilite pour que au prochain lance j'ai face ? Toujours 0.5 non ?

Et bien voila les evenements "avoir face au premier lancer" et "avoir face au second lancer" sont independants. L'un n'affecte pas l'autre.
Au passage, cela nous donne des choses pas toujours intuitives. Par exemple mettons que je gagne au loto (ca arrive). Et bien que je gagne une deuxieme fois n'est pas moins probable puisque les tirages sont independants.
Dans les calculs, cela se traduit par des esperances tres simple a calculer. En effet si les deux evenements A et B sont independants, on a E(A*B) = E(A)*E(B).

Notons pour conclure que en general deux evenements incompatibles ne sont pas independants. Puisque avoir l'un rend impossible d'avoir l'autre (donc probabilite nulle).

Merci bien pour les probas, là je comprends !!!Pour le reste, ça va mieux, je viens de refaire (encore) des exos et ça commence à rentrer ! Merci à tous. Si j'ai d'autres questions, je reviendrais ici. Bonne journée et bonnes vacances de fin d'année.