Bonjour, voilà j'ai une équation du second degré avec :

<math>\(\Delta = 16 - 8\sqrt{3}\)</math>
Je veut calculer <math>\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{16 - 8\sqrt{3}}\)</math> mais je ne sais pas comment faire...
Je sais juste qu'avec la calculatrice on a <math>\(\sqrt{16 - 8\sqrt{3}} = - 2 + 2\sqrt{3}\)</math>.

Comment faire pour obtenir ce résultat ? Merci à vous.

<math>\(\sqrt{16-8\sqrt{3}}=\sqrt{4\times(4-2\sqrt{3})}=2\times\sqrt{4-2\sqrt{3}} = 2\times\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = 2\sqrt{3}-2\)</math>

La finesse est de réussir à trouver une forme en <math>\(a^2+b^2+2ab\)</math> qu'on peut transformer en <math>\((a+b)^2\)</math> et ainsi réussir à enlever la racine alors qu'on se trimballait une somme.

Il suffit de connaître les propriétés de la racine carrée, à savoir notamment:

• si a, b > 0, alors <math>\(\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}\)</math>
• si a, b > 0, alors <math>\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)</math>
• si <math>\(a \in \mathbb{R}\)</math>, alors <math>\(\sqrt{a^2}=|a|\)</math>

A partir de là, pour simplifier la racine, il faut mettre sous la forme d'un carré ce qui est dessous. Vu sa forme, on a de fortes chances d'avoir une identité remarquable du type <math>\((a-b)^2\)</math>, où <math>\(2ab=8\sqrt{3}\)</math> soit <math>\(ab=4\sqrt{3}\)</math>. Cela ne donne pas 36000 solutions pour a et b, et en tâtonnant un peu, on trouve <math>\(a=2\)</math> et <math>\(b=2\sqrt{3}\)</math>.
Finalement <math>\(\sqrt{16-8\sqrt{3}}=\sqrt{(2-2\sqrt{3})^2}=|2-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}-2\)</math>.

Edit : ce que propose Lanfeust est mieux, à mon avis, même si ça rejoint la même idée.