Relation de Chasles

Est-elle valide sur ce problème?

11 novembre 2011 à 9:43:00

Bonjour, je suis bien embêtée car j'ai trouvé la réponse juste avec une tout autre technique que la correction! Donc j'aimerais savoir si c'est juste et pourquoi.

L'énoncé:
ABCD un carré Les points I et J tels que:
AI (un vecteur

)= 1/4 AB (un autre vecteur

)
AJ (un vecteur

)= 1/3 AD (un autre vecteur

)
Les droites (DI) et (BJ) se coupent en G et les droites (AG) et (BC) se coupent en K.

Trouver la relation de colinéarité liant les vecteurs KB et KC.

Voici le dessin

J'ai résolue avec la relation de Chasles.

KB=KA+AB D'après la relation de Chasles.
KB=KA+AC car ABCD est un carré.
KB=KC D'après la relation de Chasles.
Donc KB et KC sont colinéaires.

Cependant le livre passe par un repère! Cherche les coordonnées de G et K! Ma solution est-elle aussi juste, pourquoi?

P-S: en réalité ça fait plusieurs problèmes où j'arrive à supprimer des valeurs comme ça avec Chasles et ça m'intrigue...

UNTOUCHABLE

11 novembre 2011 à 10:02:06

Moi c'est ça qui m'intrigue :

Citation

KB=KA+AB D'après la relation de Chasles.
KB=KA+AC car ABCD est un carré.

Je suis d'accord pour la première ligne, mais pas pour la deuxième...
AB n'est pas égal à AC dans un carré. <math>\(AC= \sqrt{2}AB\)</math>
Tant que le doute n'est pas levé dessus, je ne pense pas que ce soit juste

mais je peut me tromper.

Ahti

11 novembre 2011 à 10:41:42

KB=KA+AC parceque ABCD est un carré ? oO

Je dois dire que j'ai un peu de mal à te suivre là, parce que juste en regardant la figure on voit tout de suite qu'il y a un problème...

En général le meilleur truc dans ce genre d'exo. c'est de passer par un repère. Car un vecteur exprimé comme ça dans une simple figure c'est pas le top pour travailler dessus...

Si tu te places dans le repère (A,I,J)

Alors tu as

I(1,0) et J(0,1)

AI=1/4 AB, donc AB=4 AI + 0 AJ, les coordonnées du points B sont donc (4,0), de même les coordonnées du points D sont (0,4) (Et pas (0,-4) car ton repère est orienté vers le bas

) et celle de C sont donc (4,4)

Donc maintenant on aimerait bien avoir les coordonnées de G et de K, pour cela tu as un outil qui s'appelle les équations de droite.

G étant l'intersection des droites (AI) et (BI) il suffit de trouver les équations de droites de (AI) et (BJ) et regarder en quel valeur celles-ci sont égales et de là en déterminer les coordonnées du point G. Tu détermines ensuite l'équation de droite de (AG) et celle de (BC) et tu refais la opération que précédemment pour obtenir les coordonnées du point K.

Ainsi tu pourras exprimer le vecteur KC et le vecteur KB en fonction des coordonnées de ton repère, donc là tu fais un déterminant et normalement ça fait 0, donc tes 2 vecteurs sont colinéaires !

Galaxies

11 novembre 2011 à 10:44:05

Ok! Un vecteur doit toujours se placer dans un repère, c'est ça que je n'ai pas compris?

Ahti

11 novembre 2011 à 10:56:34

Le problème du vecteur quand tu le places dans une figure comme ça, c'est qu'à part des relations de Chasle, tu ne peux rien faire avec... Ce qui peut dans des exercices comme celui-ci être (très) handicapant.

L'avantage du repérage est de pouvoir donner des coordonnées à ton vecteur, ce qui te permet d'élargir l'ensemble des opérations mathématiques faisable sur ton vecteur, comme le déterminant te permettant de vérifier la colinéarité.

Enfin je sais pas si tu sais ce qu'est un déterminant, en fait si tu as 2 vecteurs u et v de coordonnées respectives <math>\((x_u,y_u)\)</math> et <math>\((x_v,y_v)\)</math>, s'ils sont colinéaires alors tu as <math>\(x_u.y_v=y_u.x_v\)</math>

rushia

11 novembre 2011 à 13:20:37

Juste une remarque : le fait que par construction <math>\(K\in (BC)\)</math> ne donne-t-il pas directement le fait que <math>\(\vec{KC}\)</math> est colinéaire à <math>\(\vec{KB}\)</math> ?
La difficulté du problème ne se situe donc pas dans le fait de montrer que c'est colinéaire, mais de trouver <math>\(\alpha\)</math> tel que <math>\(\vec{KC}=\alpha\vec{KB}\)</math>.

Ahti

11 novembre 2011 à 13:37:18

Ah oui

Au temps pour moi mal lu. Dans ce cas une fois que l'on a les coordonnées de K, il suffit tout simplement de trouver un <math>\(\alpha\)</math> vérifiant les deux relations suivantes:

<math>\(\alpha (x_c-x_k) = x_B-x_k\)</math> et <math>\(\alpha (y_c-y_k) = y_B-y_k\)</math>

oty

11 novembre 2011 à 14:57:54

Bonjour, pour trouver la relation de colinéarité De <math>\(\vec{KC}\)</math> et <math>\(\vec{KB}\)</math> ,a il te faut d'abord trouver l'emplacement de <math>\(G\)</math> voici mon raisonnement je te conseille de suivre le même pour trouver t'as relation si tu veux procédé avec Châles bien sur :

on a <math>\(G\)</math> est l'intersection des droites (DI) et (BJ) donc il existe deux réel <math>\(\alpha\)</math> et <math>\(\beta\)</math> tel-que : <math>\(\vec{BG}=\alpha{\vec{BJ}}\)</math> et <math>\(\vec{DG}=\beta{\vec{DI}\)</math> .De l'égalite <math>\(\vec{DG}=\beta{\vec{DI}}\)</math> donc <math>\(\vec{DA}+\vec{AB}+\vec{BG}=\beta({\vec{DA}+\vec{AI})\)</math> ( on cherche a enlevé le G pour cela on introduit l'autre égalité pour qu'il reste juste les coefficient qu'on cherche a déterminer ) Donc <math>\(\vec{DA}+\vec{AB}+\alpha{\vec{BJ}=\beta({\vec{DA}+\vec{AI})\)</math> (maintenant on cherche a exprimé tout les vecteurs en fonction de deux vecteur non colinéaire ) Donc <math>\(\vec{DA}+\vec{AB}+\alpha(\vec{BA}+\vec{AJ})=\beta({\vec{DA}+\vec{AI})\)</math> (on y introduit les Donnés quand a sur les vecteur AI et AJ) l'égalité devient donc <math>\(\vec{DA}+\vec{AB}+\alpha({\vec{BA}+\frac{1}{3}\vec{AD}})=\beta({\vec{DA}+\frac{1}{4}\vec{AB})\)</math> on réarrange l'égalité dans cette forme : <math>\((1-\alpha-\frac{\beta}{4})\vec{AB}=(\beta+\frac{\alpha}{3}-1)\vec{DA}\)</math> , Or les vecteurs AB et DA sont non colinéaire Donc <math>\(1-\alpha-\frac{\beta}{4}=0\)</math> et <math>\(\beta+\frac{\alpha}{3}-1=0\)</math> tu résous ce système , tu trouve <math>\(\alpha=\frac{9}{11}\)</math> et <math>\(\beta=\frac{8}{11}\)</math> ... sauf erreur .

Bonne chance