Bonjour . Etant en train de manger des sigma et pi sous toutes les coutures.

Je rencontre un petit problème. Je ne comprend pas cette égalité .


Pourriez-vous m'aidez en fesant une petite demonstration?


Merci d'avance

Un exemple : <math>\(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=\frac{11\times(11+1)}{2}=66\)</math>

Une idée de démonstration :
<math>\(S = 1 + 2 + \ldots + (n - 1) + n\)</math>
<math>\(S = n + (n - 1) + \ldots + 2 + 1\)</math>
____________________________________________________________________________
<math>\(2S = (n+1) + (n + 2 -1 ) + \ldots + (n - 1 + 2) + (n + 1)\)</math>
<math>\(2S = \underbrace{(n+1) + (n + 1) + \ldots + (n + 1) + (n + 1)}_{n~\text{termes}}\)</math>
<math>\(2S = n(n+1)\)</math>
<math>\(S = \frac{n(n+1)}{2}\)</math>

donc <math>\(\sum_{k=0}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2}\)</math>

Salut Viracle !

Je te laisse te référer à l'exemple de Manuu pour l'appliquer


La démonstration se fait facilement par récurrence :

• Pour <math>\(n=1\)</math>, on a bien <math>\(\sum_{k = 1}^{1} k = 1\)</math> et <math>\(\frac{1 \times (1+1)}{2} = 1\)</math>.
• Soit <math>\(n\in \mathbb{N}^*\)</math>.
  On suppose que <math>\(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n \times (n+1)}{2}\)</math>.
  Alors <math>\(\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + (n+1) = \frac{n \times (n+1)}{2} + (n+1) = \frac{n \times (n+1) + 2\times(n+1)}{2} = \frac{(n+1)\times (n+2)}{2}\)</math>, ce qui prouve la propriété.

Une démonstration un peu plus jolie est la suivante :
On note <math>\(S = 1 + \cdots + n = \sum_{k=1}^n k\)</math>
On peut aussi écrire <math>\(S = n + \cdots + 1 = \sum_{k=1}^n k\)</math>.

On a donc :
<math>\(S = 1 + 2 + \cdots +(n-1) + n\)</math>
<math>\(S = n + (n-1) +\cdots + 2 + 1\)</math>

Si on fait la somme des deux lignes, on trouve :
<math>\(S+S = (1+n) + (2 + n - 1) + \cdots + (n - 1 + 2) +(n + 1)\)</math>

Et on remarque que tout ce qu'il y a entre chaque parenthèses est égal à <math>\(n+\)</math>.

Ainsi <math>\(2S = (n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1)\)</math>.

Il y a combien de termes à cette somme ? Il y en a <math>\(n\)</math>, je te laisse t'en convaincre.

Ainsi, <math>\(2S = n(n+1)\)</math> et donc <math>\(S = \frac{n(n+1)}{2}\)</math>.



Je ne sais pas à quel niveau tu es, donc je vais te faire une dernière démonstration, qui utilise des outils puissants.
On définit la suite <math>\({ \left( u_n \right) }_{n \in \mathbb{N}^*}\)</math> telle que <math>\(u_n = n\)</math>.

Alors <math>\(\sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^n u_n\)</math>.
Or la suite <math>\({ \left( u_n \right) }_{n \in \mathbb{N}^*}\)</math> est une suite arithmétique de raison <math>\(r = 1\)</math> et de premier terme <math>\(u_1 = 1\)</math>.
Ainsi, la somme des termes de cette suite arithmétique est égale à :
<math>\(\sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^n u_n = \frac{n \times (u_1 + u_n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\)</math>.


Voilà quelques démonstrations, j'imagine qu'il en existe bien d'autres !



EDIT : grilled

->Doulilos : Ta première égalité me suffit . Je suis en 3ième.

Enfin merci quand meme de prendre le temps de nous faire de super belle reponses

Si tu es en troisième, tu devrais pouvoir comprendre cette démonstration ! Essaie de bien la comprendre (avec un papier et un stylo), c'est toujours enrichissant !

Citation : Doulilos

On note <math>\(S = 1 + \cdots + n = \sum_{k=1}^n k\)</math>
On peut aussi écrire <math>\(S = n + \cdots + 1 = \sum_{k=1}^n k\)</math>.

On a donc :
<math>\(S = 1 + 2 + \cdots +(n-1) + n\)</math>
<math>\(S = n + (n-1) +\cdots + 2 + 1\)</math>

Si on fait la somme des deux lignes, on trouve :
<math>\(S+S = (1+n) + (2 + n - 1) + \cdots + (n - 1 + 2) +(n + 1)\)</math>

Et on remarque que tout ce qu'il y a entre chaque parenthèses est égal à <math>\(n+\)</math>.

Ainsi <math>\(2S = (n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1)\)</math>.

Il y a combien de termes à cette somme ? Il y en a <math>\(n\)</math>, je te laisse t'en convaincre.

Ainsi, <math>\(2S = n(n+1)\)</math> et donc <math>\(S = \frac{n(n+1)}{2}\)</math>.

(et oui, je m'autocite, on ne satisfait jamais suffisamment son égo :D)

Au dela de la démonstration mathématique, cette égalité est visuelle :

Graphiquement, on peut écrire le "sigma" sur chaque ligne. Sur la première ligne, on met un *, sur la deuxième, on en met deux, etc... le but va être de faire leur somme, on est d'accord ?

*
**
***
****
*****

etc...
On dirait... un triangle rectangle !
Imaginons maintenant que l'on colle le même triangle à coté :

*.....
**....
***...
****..
*****.

On obtient un rectangle. Et donc combien on a de symboles en tout ? (étoiles et points)
On en a n*(n+1). C'est juste une multiplication. On a n lignes (logique), et pour les colonnes, on en a une de plus, parce qu'au nombre maximum de . est ajouté une *

Voila, et comme on a accolé 2 triangles, on a exactement deux fois trop de symboles, donc notre réponse est bien n*(n+1)/2

Autre astuce :

Mathématiquement, on peut aussi comprendre la même chose en rassemblant les nombres comme on le souhaite.

Et si... je mettais les nombres deux par deux, mais le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant dernier, etc...

On a deux cas : soit il y a un nombre pair d'opérandes, soit impair :

Nombre pair d'opérandes

consiédrons :
1+2+3+4+5+6

On obtient :
(1+6) + (2+5) + (3+4)

Si vous êtes observateur, on a fait des groupes, et chaque groupe vaut 7 donc (n+1) car n=6
Ici, on a 3 groupes, or 3, c'est n/2
donc la somme est n*(n+1)/2

Mais cela n'est pour l'instant valable que si on a un nombre pair d'opérandes !!

Nombre impair d'opérandes

Si on a un nombre impair, l'astuce est d'ignorer le dernier dans un premier temps, pour retomber sur un cas pair :
On a :
1+2+3+4+5+6+7 =
(1+6) + (2+5) + (3+4) + 7

Cette fois, chaque groupe vaut n. (ici, n=7, chaque groupe vaut 7)
Et on a (n-1)/2 groupes

Mais on a le dernier nombre à ajouter, qui vaut n.

Donc notre réponse est : n+(n*(n-1))/2
ça fait :

n+(n*n-n)/2 = (2n+n*n-n)/2 = (n+n*n)/ = (n*(n+1))/2

Voila, qu'on ait un nombre pair ou impair d'opérandes, le résultat est le même.

Dans le même genre que Fvirtman (mais en plus approfondi) il y a ce pdf qui est relativement cool.Proofs without words.