Salut,

J'ai comme exercice, une somme à calculer qui est <math>\(\sum_{z \in U_n} |z - 1|\)</math> où U_n est l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité.

J'ai pensé qu'il fallait passer par l'angle moitié, et faire quelque chose comme :
<math>\(\sum_{k=0}^{n-1}|\zeta^k -1|}\)</math>
<math>\(= \sum_{k=0}^{n-1} |e^{\frac{2ik\pi}{n}} - 1|\)</math>
<math>\(= \sum_{k=0}^{n-1}|e^{\frac{ik\pi}{n}}(e^{\frac{ik\pi}{n}} - e^{\frac{-ik\pi}{n}})|\)</math>
<math>\(= \sum_{k=0}^{n-1}|e^{\frac{ik\pi}{n}}||2i\sin(\frac{k\pi}{n})|\)</math>
Et alors là, ça donnerait une somme allant de k = 0 à n - 1 de 2|sin(kpi/n)|. Mais je suis pas convaincu par mon résultat (et je n'ai pas viré la somme).

Si vous pouviez m'aider ce sera cool, merci d'avance

Edit : J'ai peut-être posté trop vite, en fait sin(kpi/n) est supérieur à 0 (car kpi/n est dans [0, pi[). Du coup on peut virer les modules, passer par la partie imaginaire de l'exponentielle, utiliser la somme des termes d'une suite géométrique toussa toussa.

Merci quand même.

Oui et ça fait <math>\(\frac{2sin(\frac{\pi}{n})}{1-cos(\frac{\pi}{n})}\)</math> à la fin.

J'ai du <math>\(2\cot(\frac{\pi}{2n})\)</math> moi.

C'est la même chose :
<math>\(\frac{2sin \left( \frac{\pi}{n} \right)}{1 - cos \left( \frac{\pi}{n} \right)}=\frac{2sin \left( 2 \frac{\pi}{n} \right)}{1 - cos \left( 2 \frac{\pi}{2n} \right)} = \frac{4 sin \left( \frac{\pi}{2n} \right) cos \left( \frac{\pi}{2n} \right)}{2 sin^2 \left( \frac{\pi}{2n} \right)} =2 \frac{cos \left( \frac{\pi}{2n} \right)}{sin \left( \frac{\pi}{2n} \right)}=2 cot \left( \frac{\pi}{2n} \right)\)</math>