Salut !
tout est dans le titre(ou le sous-titre)
En effet, j'ai besoin d'exercices concernant les sommes de Riemann au niveau terminale(genre calcule de limite de suites avec les intégrales) ainsi que leurs corrigés si possible !

Merci beaucoup !

Archi-classique:

prouver que <math>\(u_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}} - \ln{n}\)</math> admet une limite finie quand <math>\(n \rightarrow \infty\)</math>. Donner un encadrement de cette limite.

Astuce 1:


Astuce 2:


Solution complète:


Pour aller plus loin:

Salut !
Merci beaucoup !
En fait, je parlais de ce genre :
http://upload.wikimedia.org/math/5/e/5 [...] d2ac02c88.png

on nous demande de calculer la limite qui est égale à http://upload.wikimedia.org/math/d/6/4 [...] e6f13fdda.png

je ne sais pas pourquoi j'en trouves pas, on a fait 2 exemples en cours et puis c'est tout.

Au niveau terminale ?
Normalement on voie ça en sup mais bon, t'as des exercices sur ça là : http://mp.cpgedupuydelome.fr/mesexos.p [...] 44#Section317

Au maroc, on a un petit chapitre là-dessus .
Et merci beaucoup !

En fait, je comprend très bien la correction du 5éme exo, toutefois, dans mon niveau je n'ai toujours pas cet encadrement du sinus comme acquis, alors que dans mon cours, on a comme exemple une suite du même genre avec la fonction cos, ne pourrais-t-on pas procéder différemment ?

Merci !

Un petit up !

Oui mais cet encadrement tu peut le démontrer assez facilement en étudiant f(x)=sin(x)-x et g(x)=sin(x)+(x^3)/6-x

En principe, moi je ne connais pas cet encadrement, je n'aurais pensé à étudier ces fonctions...

Oui c'est vrai que vu comme ça...
Mais bon le truc c'est que cet exo c'est un exo d'oral de mines ponts donc bac+2 c'est pour ça qu'ils se permettent d'utiliser cet encadrement.

(edit: si ça t'intéresse "l'idée" de cet encadrement viens des DL : <math>\(sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\)</math>, on voit les DL en sup )

En fait,
Dans mon cours, j'ai un petit exercice semblable, avec la fonction cosinus, je ne vois pas comment m'y prendre avec les outils que j'ai...

un petit up ! (again)

Le problème c'est qu'il n'y a pas beaucoup d'exercice sur les sommes de Riemann en Terminale. A part peut-être reconnaître la forme que tu explicite dans ton 3ème post.
Faut dire ce n'est pas très intéressant, vu que faut juste utiliser une définition, donc peu pas de raisonnement. Les véritables exercices sont sur l'intégration.
As-tu au moins essayé de faire l'exercice que je t'ai proposé? C'est ce que j'ai de plus proche du lien somme de Riemann/intégrale.
Il y a d'autre exercices sinon comme le calcul de l'erreur commise quand on approxime l'intégrale par la méthode des rectangles ou trapèzes, le problème c'est que tu n'as pas les outils pour y répondre en Terminale.
D'un côté, c'est accessible niveau Terminale...
Voici l'exercice, si ça te tente:
Soit f une fonction dérivable sur [a, b] avec f' continue sur [a, b].
Majorer:
<math>\(\int_{a}^{b}{f(t) dt} - \frac{b - a}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1}{f(a + \frac{b - a}{n} k})\)</math>

Je donne le théorème (appelé inégalité des accroissements finis):
si <math>\(\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in [a;\: b],\ |f'(x)| < M\)</math>
alors <math>\(\forall (x, y) \in [a; \: b],\ |f(x) - f(y)| < M \times |x - y|\)</math>

Qui se traduit par: si une voiture roule sur une autoroute pendant 1 heure sans dépasser 130 km/h, alors elle aura parcouru moins de 130 km (assez intuitif )

Astuce 1


Astuce 2


Solution


Pour aller plus loin

Salut !
Merci Sir.Skippy
En fait, j'avais fait exactement le même exercice(le premier) avec les mêmes étapes pour conclure vers la fin que quand n tend vers l'infini la somme des 1/n a presque pour valeur ln(n).

Pour le deuxième exercice,je n'ai pas très bien compris comment...

Explique moi ce que tu as entrepris, je pourrais te guider.

je ne sais pas...
On a f' est continue sur [a;b],alors on applique le théorème des accroissements finis pour(b;a)
après, pas d'idée...

Euh non, ça va pas aboutir.
On a une expression avec une intégrale moins une somme. L'idée est de regrouper les deux termes. Comme dirait mon prof de Maths: il faut partir de la quantité à majorer et essayait de retrouver une quantité qu'on sait majorer.

Malheureusement, ce que je sais là, c'est que la somme que l'on a est une somme de Riemann dont la limite est l'intégrale qu'on a aussi...
Devrais-je penser à utiliser la relation de Chasles pour l'intégrale ?
borne (a;b-a/n) +(b-a/n;2(b-a)/n).....
Non ?

Citation : -rochdi-

Malheureusement, ce que je sais là, c'est que la somme que l'on a est une somme de Riemann dont la limite est l'intégrale qu'on a aussi...

En effet, calculer la différence nous permet de majorer l'erreur que l'on commet quand on ne calcule que les n premiers termes de la somme. On va donc majorer la différence par une valeur qui tendra vers 0 quand n tend vers +infinie. En fait, on prouve ainsi que la méthode des rectangles est valable pour calculer une intégrale.

En effet, la relation de Chasles est une bonne idée (attention toutefois, c'est <math>\(\int_{a}^{\underbrace{a +} \frac{b - a}{n} }{...} +\)</math>)

Astuce:

Salut !
Voilà http://www.cijoint.fr/cj201107/cijY1dTGsB.jpg (je suis nul en Latex ça m'aurait pris beaucoup de temps. J'espère que c'est assez clair)

Alors ?

Non.
f n'est pas constante sur les segments, ce serait un peu facile.
Par contre, <math>\(f(a + \frac{a - b}{n} k)\)</math> ...

En fait,
le principe des sommes de Riemann c'est qu'on prend des intervalles très petits ,et par suite on considère f constante non ?

L'intégrale c'est définit comme ceci:
<math>\(\int_{a}^{b}{f(t) dt} = F(b) - F(a)\)</math> avec F une primitive de f. C'est un objet mathématique qui découle de la dérivée, or on peut prouver (c'est le but de l'exercice), que cet objet peut aussi être vu comme la limite d'une suite de Riemann.
Donc la somme de Riemann n'est ici pas égale à l'intégrale, je fixe n, je ne le fais pas tendre vers +inf.
Tu peux seulement écrire:
<math>\(A = \lim_{i \rightarrow +\infty}{\sum_{j = 0}^{i}{f(a + \frac{b - a}{n} j) } - \sum_{k = 0}^{n}{f(a + \frac{b - a}{n} k)}\)</math>
Or ce n'est pas trop simplifiable.
f a une valeur en t, et tu ne peux pas considérer quelle est constante sur un petit segment, car ce n'est pas vrai! avec f(x) = x par exemple.

La réponse à trouver

Arf !
là ça change, je ne vois pas comment appliquer le TAF...
@Sir.Skippy excuse moi si je suis nul, en tout cas merci beaucoup à toi !

Faut surtout pas écrire l'intégrale comme la limite d'une suite, je l'ai fait c'était juste pour te montrer que c'était affreux.
l'idée c'est en fait que <math>\(\frac{b - a}{n} f(a + \frac{b - a}{n}k) = \int_{a + \frac{b - a}{n} k}^{a + \frac{b -a}{n}(k + 1)}{f(a + \frac{b - a}{n}k) dt}\)</math>. Cf. astuce d'un post précédant.

Ensuite tu peux tout regrouper, appliquer l'iaf (c'est son petit nom pour les intimes), et conclure.

Pas de réponse? Je fournis quand même le corrigé complet:

Salut !
Apparemment je cherchais trop loin..
Merci beaucoup pour ton aide Sir.Skippy !

On pourrait faire la même chose pour le premier exercice ?
Pour encadrer la constante d'Euler non ?

Je ne pense pas qu'on puisse. J'imagine que tu veux appliquer le résultat avec <math>\(f : x \mapsto \frac{1}{x}\)</math>, on peut donc appliquer le résultat pour b-a = n. On ne peut pas prendre a = 0 (sens de <math>\(\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{1}{k}}\)</math>? ( 1/0 pour k = 0), l'intégrale de f sur l'intervalle ]0, n] diverge, M n'existe pas...). On peut prendre a = 1, b = n + 1, M = 1: On finit sur:
<math>\(| \ln{(n + 1)} - \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{k}} | < n\)</math>
Ce n'est pas le résultat demandé, et l'encadrement est loin d'être satisfaisant...
Pourquoi cela ne marche-t-il pas? Car on essaye plus d'évaluer l'intégrale mais on utilise une formule pour trouver une limite d'une série. Et pour cela on fixe que le nombre de rectangles utilisé pour évaluer l'intégrale est proportionnel à la taille de l'intervalle considéré, ce qui n'a aucun sens, c'est pas du tout la méthode pour calculer une intégrale, ça marche pas, les erreurs de mesures s'accumulent (on peut le voir comme ça).