Bonjour à tous.

Dans le cadre d'une étude statistique, je me suis retrouvé confronté à un problème.
En effet, je cherche à trouver un "nombre optimal" (je ne sais pas si c'est exactement le terme approprié).

Je m'explique :

On dispose de plusieurs types de maisons distincts les uns des autres. L'utilité générale de ces maisons est de pouvoir collecter les impôts à un intervalle régulier I. Plus précisément, chaque type de maison possède deux paramètres : la valeur des impôts collectés et l'intervalle de temps minimum entre chaque collecte.

On dispose également d'un nombre <math>\(PA\)</math> de points d'action pour effectuer des actions. Chaque collecte coûte toujours un seul PA. On notera le nombre maximal de PA possédés <math>\(PA_{max}\)</math>. On regagne un PA de manière constante toutes les cinq minutes (temps que <math>\(PA < PA_{max}\)</math>).

Finalement, ce que j'entends pas "nombre optimal", c'est le nombre entier de maisons d'un type particulier qu'il faut construire de telle manière à pouvoir collecter une maison dès lors que l'intervalle est terminé, sans toutefois ne jamais être à court de PA.

Je pense passer à côté de l'évidence, je vois à peu près le rapport qu'il faut établir entre I, <math>\(PA_{max}\)</math> et le temps de regain des PA.

Auriez-vous une piste pour trouver ce "nombre optimal" (est-ce le nom approprié ?) ?

D'avance merci.

T'es pas forcément très clair dans tes explications, mais si j'ai bien compris le problème est assez trivial en fait :
- tu gagne 1 PA tout les 5 minutes
- donc tu peux collecter 1 maison tout les 5 min
- si T est l’intervalle entre deux collecte d'une même maison, on a donc nombre de maisons maximal = T / 5 (avec T en minutes).

Si il y a différents types de maisons et si on veut gagner le plus possible alors on ne prendra que des maisons qui rapportent le plus à chaque collecte, et ensuite le problème et le même qu'au dessus.

Tu gagnes un PA toutes les 5 minutes, soit en moyenne 12 par heure.
Si tu fais plus de 12 collectes par heure en moyenne, alors forcément tu vas être à cours de PA, si tu en fais moins, tu auras tout le temps trop de PA. IL faut donc trouver une configuration qui te fait faire en moyenne 12 collectes par heure.

Donc ça, ça dépend des valeurs pour chaque type de maison. Mettons que tu as <math>\(n\)</math> types différents disponibles, je les appelle <math>\(T_1, T_2, T_3, \dots, T_n\)</math>. Avec pour chaque type <math>\(T_i\)</math> la valeur collectée <math>\(v_i\)</math> et l'intervalle de temps <math>\(t_i\)</math> (en minutes). Je note également <math>\(\alpha_i\)</math> le nombre de maisons de type <math>\(T_i\)</math> que tu possèdes.

Pour ne pas épuiser tes PA inutilement et ne pas en avoir de trop, la contrainte est que <math>\(\sum_{i=1}^n \frac{\alpha_i}{t_i} \approx \frac{1}{5}\)</math> et (je suppose) le but est de maximiser le gain par unité de temps, c'est à dire la valeur <math>\(\sum_{i = 1}^n \alpha_i \frac{v_i}{t_i}\)</math>

L'approche qui s'en suit pour résoudre le problème dépend beaucoup du nombre de types disponibles et des valeurs pour chaque type.
Peux-tu expliciter ?



EDIT: Si chaque type de maison te coute le même prix à entretenir (hypothèse) alors la proposition de Thêta tau tau est judicieuse et il faut en effet trouver le type de maison pour laquelle le rapport <math>\(\frac{v_i}{t_i}\)</math> est le plus grand.

PS: ce problème porte le nom du problème du sac à dos (en tout cas c'en est une version dérivée).

Super Caduchon !

Il y a en gros une vingtaine de types différents.

Voici deux exemples, en conservant ta notation :

Le type de maison <math>\(T_1\)</math> a pour valeur collectée <math>\(v_1 = 100\)</math> et pour intervalle de temps <math>\(t_1 = 240\)</math>.
Le type de maison <math>\(T_2\)</math> a pour valeur collectée <math>\(v_2 = 10\)</math> et pour intervalle de temps <math>\(t_2 = 5\)</math>.
Je prends volontairement <math>\(t_1 > 60\)</math> et <math>\(t_2 < 60\)</math>.

Mon niveau en maths ne me permet encore de résoudre des équations "sous contrainte", comme tu le proposes ici. Je veux dire que je ne sais pas comment résoudre l'équation avec le signe "somme". Comment dois-je m'y prendre ?

@Thêta tau tau : je ne suis pas sûr d'avoir bien compris. Ta méthode tient-elle compte du fait que les maisons n'ont pas forcément un intervalle de 5 minutes. Car tu dis qu'on peut collecter une maison toutes les 5 minutes, certes, mais pas si l'intervalle de la maison est de 18 heures par exemple.

Petite application :
- J'ai 10 PA
- J'ai 10 maisons avec un <math>\(t = 5\)</math>

Si je collecte les 10 d'un coup (j'ai le droit), je vais me retrouver avec 0 PA. Or au bout de 5 minutes, les 10 maisons pourront à nouveau être récoltées mais je n'aurai récupéré qu'un seul PA. La situation n'est donc pas optimisée. Il faut donc trouver le nombre de maisons optimal tel que j'ai toujours assez de PA au moment où les maisons peuvent de nouveau être récoltées.

Comprenez-vous le sens de mon problème ?

C'est une collecte toute les 5 min par le collecteur dont je parlait, pas par maison (c'est ce que tu as dit dans ton énoncé).

En reprenant tes exemples :
- si t=5 tu ne peux collecter qu'une seule maison
- si t=240 tu peux collecter 240/5=48 maisons
Dans tous les cas l'argent gagné ne dépend pas de t mais uniquement de v. (on gagne v toutes les 5 minutes). t ne détermine que le nombre de maison.

D'accord je comprends mieux.

Mais que fait-on de <math>\(PA_{max}\)</math> ? Car 48 maisons, okay, mais si je n'ai que 20 PA, je ne peux pas les faire tourner en permanence... Comprends-tu ?

Tu dois avant tout trouver le type de maison le plus rentable. Dans les deux exemples que tu as donné, la première a une rentabilité de 10/5 = 2 et l'autre une rentabilité de 100/240 = 0.417
La première est donc beaucoup plus rentable (mais nécessite d'être plus présent, l'optimisation qu'on te propose fait abstraction du no-life-isme )

Regarde toutes les maisons que tu as, et donne nous la plus rentable !
Une fois que la maison est choisie, en fonction de son intervalle de temps entre les collecte on pourra déterminer combien il en faudra.

Donc la méthode de Thêta n'est pas valable dans ce cas ?

J'avais déjà calculé cette rentabilité, et la première que j'ai donné est la plus rentable de toutes (ça semble logique, privilège aux no-lifes ). D'une manière générale, plus l'intervalle est long, moins la maison est rentable. Ca ne m'intéresse pas tant que ça que vous me disiez combien il faudrait de la plus rentable, mais comment faire pour calculer le nombre pour chaque maison, car je ne compte pas en avoir qu'un seul type, et c'est mathématiquement moins intéressant que de connaître la formule générale.

Merci déjà de l'attention que vous apportez à mon petit problème d'optimisation.

Tu dois simplement trouver le <math>\(\alpha_i\)</math> pour que <math>\(\frac{\alpha_i}{t_i}\)</math> soit le plus proche possible de <math>\(\frac{1}{5}\)</math>. En l'occurrence, c'est calculer <math>\(\alpha_i = \frac{t_i}{5}\)</math>.

Pour tes deux exemples tu aurais donc <math>\(\alpha_1 = \frac{5}{5} = 1\)</math> maison.
Pour l'autre type tu aurais <math>\(\alpha_2 = \frac{240}{5} = 48\)</math> maisons.

La stratégie à adopter dépend de l'élément limitant, comme tu as pas donné plus d'infos j'ai supposé que c'était la collecte, mais si il faut payer les maisons ça peut être l'argent pour les acheter.

Si on a assez d'argent pour acheter les maisons qu'on veut on cherchera à maximiser v (l'argent qu'on gagne à chaque collecte), vu qu'on est limité par le nombre de collecte. Dans ce cas la maison T1 feras gagner plus d'argent (240 par collecte).

Si on a pas assez d'argent pour acheter beaucoup de maisons, du coup on a des PA en trop, donc on cherche pas à les rentabiliser mais plutôt à rentabiliser l'argent investi, donc on achètera les maisons qui rapportent le plus (une maison rapportant v/t).
Dans ce cas c'est la maison T2 la plus rentable (elle produit 2 par minute, tandis qu'une maison T1 produit 0.41 par minute).

Citation : Caduchon

Tu dois simplement trouver le <math>\(\alpha_i\)</math> pour que <math>\(\frac{\alpha_i}{t_i}\)</math> soit le plus proche possible de <math>\(\frac{1}{5}\)</math>. En l'occurrence, c'est calculer <math>\(\alpha_i = \frac{t_i}{5}\)</math>.

Pour tes deux exemples tu aurais donc <math>\(\alpha_1 = \frac{5}{5} = 1\)</math> maison.
Pour l'autre type tu aurais <math>\(\alpha_2 = \frac{240}{5} = 48\)</math> maisons.

Un bon point de réglé !

Mais, une fois de plus, qu'en est-il de <math>\(PA_{max}\)</math> ? Si j'ai 48 maison et un nombre de <math>\(PA_{max} = 25\)</math>, je ne peux collecter que 25 maisons puis une toutes les 5 minutes. C'est donc pas optimisé.

Comment pallier à ce problème ?

Que tu collecte une maison tout les 5 min ou 25 toutes les 125 minutes ça change absolument rien...

Bah ça change que je peux très bien collecter 25 maisons en une seule fois.

Ce que je veux dire c'est que si je les collecte toutes en même temps, je n'ai pu aucun PA. Au bout de 5 minutes toutes les maisons peuvent être collectées à nouveau mais je n'ai récupéré qu'un seul PA, donc je ne peux pas les recollecter à nouveau. Le problème n'est donc pas résolu.

Le truc c'est que je ne collecte pas nécessairement une maison toutes les cinq minutes, je peux toutes les faire en même temps.

Tu comprends ?

Le problème est tout à fait résolu... C'est toi qui ne comprends pas qu'il n'est pas possible de faire mieux.

Mais si tu veux vraiment pouvoir toutes les faire en même temps chaque fois que tous tes PA sont revenus, alors tu dois multiplier le nombre qu'on t'a donné par PA_max (ce qui commence à faire beaucoup dans le second cas...)