E est un ensemble fini muni d'une LCI associative +
comment montrer que <math>\(\forall x \in E, x\)</math> est simplifiable <math>\(\Rightarrow -x\)</math> existe
merci

Bonsoir,

Dans le sens indiqué, l'implication n'est pas vraie dans le cas général.
Ainsi N est un monoïde où tout élément est simplifiable et aucun élément n'a d'inverse pour + (sauf 0 bien sûr).

Cest l'implication inverse qui est toujours vraie.

Mais <math>\(\mathbb{N}\)</math> n'est pas un ensemble fini, contrairement à ce que suppose l'énoncé.

Édit : on doit pouvoir jouer sur cette propriété.
On suppose qu'il y a <math>\(n\)</math> éléments (diffenrents, puisqu'on parle d'ensemble) dans l'ensemble <math>\(E\)</math>, nommés <math>\(x_0\)</math> à <math>\(x_{n-1}\)</math> avec <math>\(x_0\)</math> l'élément neutre.
<math>\(\forall x\in E, \forall k<n, x+x_k\in E\)</math>

Si <math>\(x\)</math> est inversible, alors la fonction <math>\(f_x : e\in E \mapsto x+e\)</math> est bijective. En particulier, il existe un antécédent de <math>\(x_0\)</math> qu'on note <math>\(-x\)</math>

Si la loi n'est pas commutative, on peut faire le même raisonnement à droite, mais il faut prouver que les deux "-x" sont les mêmes.

Édit 2 : grillé dans mon édit

Bonsoir,
oui j'ai lu un peu vite.

Dans ce cas , c'est donc vraie.

le principe d'une preuve que j'espère meilleure que ma première réponse ...

Soit l'application <math>\(g_x: y \rightarrow g_x(y)=x+y\)</math>
Le fait que <math>\(x\)</math> soit simplifiable implique que cette application est injective puisque <math>\(g_x(y)=g_x(z)\)</math> équivaut à <math>\(x+y=x+z \rightarrow y=z\)</math>
Mais une application injective sur un ensemble fini est nécessairement surjective.
Donc il existe un élément x' de E tel que <math>\(g_x(x')=0\)</math> soit <math>\(x+x'=0\)</math> ce qui est le résultat cherché

Une application injective sur un ensemble fini n'est pas nécessairement surjective.

Par contre, tu as une injection d'un ensemble fini dans lui-même, qui effectivement sera toujours surjective.