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Suites arithmétiques

    13 novembre 2020 à 20:21:49

    Determine les termes U0 U1 U2 U3 d'une suite arithmetique dont la somme est egale a 16 et le produit 105 

    J'ai essayé de toutes les façons possibles mais j'y arrive pas . Quelqu'un pour m'aider ?

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      13 novembre 2020 à 22:26:51

      Alors, tu n'as pas dû essayé toutes les façons possibles.

      Et comme tu ne dis pas ce que tu as fait, on ne peut pas t'aider.

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        14 novembre 2020 à 17:59:43

        Est-ce que tu as traduit les deux conditions par des équations ? (Cet exercice n'a aucune originalité, c'est toujours ainsi qu'il faut procéder : traduire les phrases en français par des équation(s).) Si oui, quelles sont-elles ?

        -
        Edité par robun 14 novembre 2020 à 18:01:28

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          21 novembre 2020 à 2:52:06

          Vaut mieux tard que jamais ...
          Les facteurs premiers de 105 sont 1, 3, 5, 7
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          Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

            21 novembre 2020 à 12:02:41

            Comme ça fait huit jours j'imagine que la question est résolue. Je viens détailler ce problème que je trouve plus intéressant qu'il n'y paraît si on modifie légèrement l'énoncé : trouver toutes les suites possibles.

            Car si on voit immédiatement que 1, 3, 5, 7 conviennent, il faut savoir que \( 4 - \sqrt{151} \), \( 4 - \dfrac{1}{3}\sqrt{151} \), \( 4 + \dfrac{1}{3}\sqrt{151} \) et \( 4 + \sqrt{151} \) conviennent aussi. Et c'est un petit peu moins évident...

            Méthode « astucieuse » : s'il existe une suite d'entiers (on ne sait jamais), et puisque le produit fait 105, c'est que chaque terme est diviseur de 105.

            Les diviseurs de 105 sont : 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

            Y a-t-il une suite arithmétique là-dedans ? (Attention, les termes ne sont pas forcément consécutifs, ça pourrait être 1, 7, 21, 35 par exemple.) Oui : 1, 3, 5, 7. Leur somme fait bien 16 et leur produit 105, ça colle !

            Attention : je n'ai pas prouvé que c'est une solution unique, en particulier je n'ai pas examiné les valeurs négatives, de plus rien ne dit que les solutions ont des termes entiers. Mais on demandait juste de trouver une solution. (Il est facile de trouver une deuxième suite qui répond à la question : 7, 5, 3, 1.)

            Méthode générale : on traduit l'énoncé en équations. C'est quelque chose de très fréquent en maths et qu'il faut savoir faire. Avantage : on aura toute les solutions.

            • \( u_0 \), \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \) sont les termes d'une suite arithmétiques. Ça signifie que chacun d'eux est égal au terme précédent plus une quantité fixe, la raison. Notons r la raison. Nos quatre termes s'écrivent : \( u_0 \), \( u_0 + r \), \( u_0 + 2r \) et \( u_0 + 3r \). Ceci est la traduction de la première phrase. Dans cette traduction, deux quantités sont inconnues : \( u_0\) et \( r \). (Remarque : on pourrait aussi directement utiliser la formule de la somme d'une suite arithmétique, ça donnera la même chose.) Il faut donc traduire la suite de façon à avoir deux équations. Ça tombe bien, il y a deux contraintes.
            • La somme est égale à 16. Facile à traduire : \( u_0 + (u_0 + r) + (u_0 + 2r) + (u_0 + 3r) = 16 \). On peut regrouper : \( 4u_0 + 6r = 16 \), et on simplifie : \( 2u_0 + 3r = 8 \).
            • Le produit est égal à 105. De même : \( u_0 \, (u_0 + r) \, (u_0 + 2r) \, (u_0 + 3r) = 105 \). On pourrait développer mais ça va être chiant... (on va se retrouver avec une équation du quatrième degré !)

            Mais on arrive quand même à s'en sortir avec la méthode par substitution : on part de \( 2u_0 + 3r = 8 \) d'où on en déduit que \( u_0 = 4 - \dfrac{3}{2}r \). Du coup la deuxième équation devient :

            \( (4 - \dfrac{3}{2}r ) \, (4 - \dfrac{1}{2}r ) \, (4 + \dfrac{1}{2}r ) \, (4 + \dfrac{3}{2}r ) = 105 \)

            Regroupons ça judicieusement :

            \( (4 - \dfrac{1}{2}r ) \, (4 + \dfrac{1}{2}r ) \, (4 - \dfrac{3}{2}r ) \, (4 + \dfrac{3}{2}r ) = 105 \)

            et nous avons deux produits de la forme (a-b)(a+b). Ce qui donne :

            \( (16 - \dfrac{1}{4}r^2 ) \, (16 - \dfrac{9}{4}r^2) = 105 \)

            On développe :

            \( \dfrac{9}{16}r^4 - 40r^2 + 151 = 0\)

            Ça peut se résoudre ! On pose X = r^2 et on tombe sur l'équation du second degré \( X^2 - 640X + 2416 = 0 \) (oui, j'aime pas les fractions !).

            Discriminant : \( \Delta = 640^2 - 4 \times 9 \times 2416 = 322624 \). On reconnaît le carré de 568, les solutions sont donc :

            \( X_1 = \dfrac{640 - 568}{18} = 4 \) et \( X_2 = \dfrac{640 + 568}{18} = \dfrac{604}{9} \)

            Ces deux solutions sont positives, l'équation du quatrième degré a donc quatre solutions :

            \( r_1 = -2 \), \(r_2 = 2 \), \( r_3 = -\dfrac{2}{3}\sqrt{151} \) et \( r_4 = \dfrac{2}{3}\sqrt{151} \).

            On peut maintenant détailler les quatre suites en utilisant l'équation \( u_0 = 4 - \dfrac{3}{2}r \) vue plus haut.

            • Avec la première racine on obtient \( u_0 = 7 \). Les quatre termes sont 7, 5, 3, 1.
            • Avec la deuxième racine on obtient \( u_0 = 1 \). Les quatre termes sont 1, 3, 5, 7 : ceux trouvés immédiatement avec la première méthode. Mais il existe visiblement deux autres suites :
            • Avec la troisième racine on obtient \( u_0 = 4 + \sqrt{151} \). Les quatre termes sont \( 4 + \sqrt{151} \), \( 4 + \dfrac{1}{3}\sqrt{151} \), \( 4 - \dfrac{1}{3}\sqrt{151} \) et \( 4 -\sqrt{151} \). On peut vérifier facilement que la somme fait bien 16 et le produit (deux produits (a-b)(a+b)) fait bien 105 :

            \( u_0 \times u_1 \times u_2 \times u_3 = (4 + \sqrt(151)) \, (4 - \sqrt(151)) \, (4 + \sqrt(151)/3) \, (4 - \sqrt(151)/3) \)

            \( \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = (16-151) \, (16-151/9) = 256 - 16 \times 151/9 + 16 \times 151 + 151^2/9 \)

            \( \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{2304-2416-21744+22801}{9} = \dfrac{945}{9} = 105 \)

            • Avec la quatrième racine on obtient \( u_0 = 4 - \sqrt{151} \). Les quatre termes sont \( 4 - \sqrt{151} \), \( 4 - \dfrac{1}{3}\sqrt{151} \), \( 4 + \dfrac{1}{3}\sqrt{151} \) et \( 4 +\sqrt{151} \). Ce sont les mêmes termes que précédemment mais parcourus dans l'ordre croissant, donc la somme et le produit conviennent aussi.

            Ouf ! En théorie, tout ça est du niveau de première. (Si ça peut donner des idées de devoir à des profs un peu sadiques...)

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            Edité par robun 21 novembre 2020 à 12:12:30

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              21 novembre 2020 à 12:17:24

              Pour résumer, on a 4 termes dont la somme donne 16. Leur moyenne est donc 4. Et comme ces 4 termes sont en progression arithmétique, on va les écrire 4-3r/2, 4-r/2, 4+r/2 et 4+3r/2 

              Et quand on a fait ça, on est sur les rails, il n'y a plus qu'à dérouler.

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                26 novembre 2020 à 15:37:20

                J'aime bien cette exercice !
                Je vais le reprendre
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                  26 novembre 2020 à 16:35:31

                  En quelle classe on fait un exercice comme ça ? En 1ère ?
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                    26 novembre 2020 à 20:07:56

                    C'est en première qu'on aborde les suites arithmétiques. Dans ma démonstration j'ai utilisé des polynômes du second degré et leur résolution avec la méthode du discriminant, c'est abordé en première. En tout cas en première S.
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