Bonjour à vous amis 0 !

J'ai un exercice pour demain (je suis en TS) si vous pouviez me corriger et m'éclaircir sur certains points...

On a :
<math>\((u_n)_{n \in \mathbb{N}} \left \{ \begin{matrix}u_0 =1 \\u_1 = 2 \\u_{n+2} = & \frac{3}{2} u_{n+1} - \frac{1}{2} u_n\end{matrix}\)</math>


J'ai fait :
<math>\(v_{n+1} = u_{n+1} - u_n\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow v_{n+2} = u_{n+2} - u_{n+1}\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow v_{n+2} = \frac{3}{2} u_{n+1} - \frac{1}{2} u_n - u_{n+1}\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow v_{n+2} = \frac{1}{2} u_{n+1} - \frac{1}{2} u_n\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow v_{n+2} = \frac{1}{2}(u_{n+1} - u_n)\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow v_{n+2} = \frac{1}{2} v_{n+1}\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow v_{n+1} = \frac{1}{2} v_{n}\)</math> donc géométrique de raison 1/2 avec <math>\(v_1 = u_1 - u_0 = 2 - 1 = 1\)</math>


C'est donnée par l'expression générale d'une suite géométrique : <math>\(v_n = v_1 \times q^{n-1} = (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}}\)</math>


C'est ici que je bloque J'ai tortillé dans tout les sens mais rien à faire j'arrive toujours à <math>\(u_{n+1} = \frac{1}{2^n} + u_n\)</math> en partant de <math>\(v_{n+1} = u_{n+1} - u_n\)</math> Des idées ?


Evidemment je peux rien faire sans <math>\(u_n\)</math>

Merci à vous !

Pour la première question, tu peux t'arrêter à <math>\(v_{n+2}=\frac{1}{2} v_{n+1}\)</math> : tu passes d'un terme de la suite au suivant en multipliant par <math>\(\frac{1}{2}\)</math>, autrement dit <math>\((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> est une suite géométrique de raison <math>\(\frac{1}{2}\)</math>.
Son premier terme est bien <math>\(v_1=1\)</math>.

Ta réponse à la deuxième question est correcte.

Pour la troisième question, tu dois te référer à ce que tu connais, à savoir :

• pour tout <math>\(k \in \mathbb{N}\)</math> : <math>\(v_{k+1}=u_{k+1}-u_k\)</math>
• pour tout <math>\(k \in \mathbb{N}\)</math> : <math>\(v_{k+1}=\frac{1}{2^k}\)</math>

Ces deux points nous donnent : <math>\(k \in \mathbb{N}\)</math>, <math>\(u_{k+1}-u_k=\frac{1}{2^k}\)</math>.
A partir de là, je te conseille de te renseigner sur les sommes télescopiques, ça devrait te donner une idée pour répondre à la question.

Tu peux aussi le faire par récurrence :
<math>\(u_{k+1}=\frac{1}{2^k}+u_k = \frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k-1}}+u_{k-1} = ...\)</math> ainsi de suite jusqu'à arriver à <math>\(u_0\)</math>
Si tu es bloqué arrivé là, un indice :

Bonjour,

Citation : log_i

3/ En déduire <math>\(u_n\)</math> en fonction de n

C'est ici que je bloque J'ai tortillé dans tout les sens mais rien à faire j'arrive toujours à <math>\(u_{n+1} = \frac{1}{2^n} + u_n\)</math> en partant de <math>\(v_{n+1} = u_{n+1} - u_n\)</math> Des idées ?

Tu as pris un bon départ avec <math>\(u_{n+1} = \frac{1}{2^{n}} + u_{n}\)</math>, la question étant d'exprimer <math>\(u_{n}\)</math> en fonction de <math>\(n\)</math> on préferera écrire <math>\(u_{n} = \frac{1}{2^{n-1}} + u_{n-1}\)</math>,

mais à son tour <math>\(u_{n-1} = \frac{1}{2^{n-2}} + u_{n-2}\)</math> donc <math>\(u_{n} = \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-2}} + u_{n-2}\)</math> puis <math>\(u_{n-2} = \frac{1}{2^{n-3}} + u_{n-3}\)</math>

donc <math>\(u_{n} = \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-2}} + \frac{1}{2^{n-3}} + u_{n-3}\)</math> et ainsi de suite.

Tu peux donc noter cette suite <math>\(u_{n} = \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-2}} + ... + \frac{1}{2^{0}} + u_{0} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-2}} + ... + \frac{1}{2^{0}} + 1\)</math>

ou <math>\(u_{n} = (\sum_{i = (n-1)}^{0}\frac{1}{2^{i}}) + u_{0} \Leftrightarrow u_{n} = (\sum_{i = (n-1)}^{0}\frac{1}{2^{i}}) + 1\)</math>.

En espérant que cela t'aide pour la suite.

Coridalement,

PS : La réponse arrive un peu tard, mais j'ai mis pas mal de temps à l'écrire .

@Numero8 : Pourquoi tu écris le terme <math>\(\frac{1}{2^{-1}}\)</math> dans ta somme ? La suite <math>\((u_n)\)</math> n'est définie que pour <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math>.
Le dernier terme est <math>\(\frac{1}{2^0} + u_0 = \frac{1}{2^0} + 1\)</math>, il me semble.

Exact Gr3n@d1n3, erreur d'inattention de ma part, je rectifie.