Bonjour,

Voici l'énoncé d'un problème (trouvé ici) :

Citation : exercice 8

Pimpim et Orphée sont perdus dans le désert. Ils décident de creuser un puits. Ils creusent 3 mètres le premier jour, puis 3,10 mètres le deuxième, 3,20 mètres le troisième, et toujours 10 cms de plus chaque jour. L'eau est à une profondeur de 300m. Combien de jours leur faudra t-il pour atteindre l'eau?

Je ne suis pas entièrement d'accord avec la solution proposée, aussi je m'en remets à vous pour juger :

Ma démarche :

1. On pose :
<math>\(u_{0} = 3\)</math>
<math>\(u_{n+1} = u_{n} + 0.1\)</math>

Donc c'est bien une suite arithmétique:
<math>\(u_{n} = u_{0} + 0.1n\)</math>

2. Sachant que pour une suite arithmétique, la somme des termes vaut : <math>\(S = \frac{N(P+D)}{2}\)</math>, avec N pour le nombre de termes, P pour le premier terme, et D pour le dernier terme, on pose :

<math>\(S = \frac{N(u_{0}+u_{N-1})}{2}\)</math>
soit :
<math>\(\frac{N(3 + 3 +0.1(N-1))}{2} \geq 300\)</math>
soit en simplifiant :
<math>\(N^{2}+59N \geq 6000\)</math>

3. J'utilise ma calculette pour résoudre l'équation <math>\(N^{2}+59N = 6000\)</math>, et j'obtiens :
<math>\(N=53.38697123191317\)</math>
donc N étant entier:
<math>\(N=54\)</math>

Il faut donc 54 jours pour atteindre l'eau.

Corrigé proposé sur le site

Citation : corrigé

Soit <math>\(u_{n}\)</math> la hauteur creusée le nième jour. On a :
<math>\(u_{0} = 3\)</math>
<math>\(u_{n+1} = u_{n} + 0.1\)</math>

La suite u ainsi définie est une suite arithmétique de premier terme qui vaut 3 et de raison 0,1. On peut calculer la somme de ses termes, c'est à dire la hauteur du puits après un certain nombre de jours, avec la formule
<math>\(somme = nombreTermes \times \frac{premierTerme + dernierTerme}{2}\)</math>

Pour cela on doit connaître le dernier terme. Appelons j le nombre de jours nécessaires pour creuser le puits.
<math>\(u_{j} = 3 + 0.1j\)</math> donc :
<math>\(S = j \times \frac{3+3+0.1j}{2} = j \times \frac{6+0.1j}{2} = j \times (3+0.05j) = 3j + 0.05j^{2}\)</math>

La somme doit être égale à 300 donc il faut résoudre l'équation <math>\(3j + 0.05j^{2} = 300\)</math> qui donne <math>\(3j + 0.05j^{2} - 300 = 0\)</math>

C'est une équation du deuxième degré [...]. Delta est positif donc l'équation admet deux solutions :
[...] <math>\(j_2 = \frac{-3 + \sqrt{69}}{0.1} \approx 53.06\)</math>

L'eau sera atteinte au bout de 53,06 jours, il faut donc 54 jours pour que le puits soit terminé.

Grosso-modo, le raisonnement est le même, mais il y a un truc qui me choque dans le raisonnement proposé dans le corrigé : si j est le nombre de jours nécessaires pour creuser le puits, comment cette formule est-elle correcte :
<math>\(S = j \times \frac{3+3+0.1j}{2}\)</math>

Sachant que les éléments sont numérotés depuis <math>\(u_{0}\)</math>, le dernier élément est bien <math>\(u_{j-1}\)</math>, non ?

Merci.

Je ne suis pas sûr de ce que je vais dire donc attention mais on démarre peut-être du jour 1 et non du jour 0, ce qui expliquerait ça. Non ?

Bonjour,
je pense que c'est ça : dans le corrigé, le premier jour est numéroté 1, alors que tu l'a numéroté 0.

Non, clairement pas, c'est la même notation tous les deux (depuis 0). D'ailleurs, je trouve un résultat différent pour l'équation finale.

Et bien, je pencherais pour une petite erreur dans la solution puisque la suite démarre effectivement à <math>\(u_0\)</math>, et que le nombre de terme dans la somme <math>\(S\)</math> est égal à <math>\(j\)</math>. Pour être cohérent avec cela, le dernier terme (le j-ième terme en l’occurrence) est donc <math>\(u_{j-1}=3+0.1(j-1)\)</math> comme dans ta propre solution avec <math>\(N=j\)</math> et non <math>\(u_j\)</math> .

Donc tu es d'accord avec moi, en fait.

Ouaip, en résumé, oui, c'est ça, je suis d'accord avec toi !

OK, merci.

J'ai contacté l'auteur du site ce matin, apparemment il y a effectivement une petite erreur dans le corrigé.

Je passe en résolu.