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Taille de R

10 puissance l'infini

    13 mai 2021 à 18:42:08

    En considérant qu'un élément de R à une infinité de chiffres après la virgule, il y a 10 possibilité (10 chiffre) pour chaque emplacement et il y a une infinité d'emplacements ce qui fait 10x10x... = 10 puissance l'infini. On ne tient pas compte de l'infinité de chiffre avant la virgule car il existe une bijection de N^2 dans N donc multiplier par l'infini ne change pas la taille.

    Mon résonnement est-il juste ? 

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      13 mai 2021 à 22:53:04

      Les gens raisonnent, et les tambours résonnent.

      Ici, tu as fait le bon choix, tu ne raisonnes pas, tu résonnes.

      Bon, je suis méchant, désolé. 

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        14 mai 2021 à 4:07:22

        C'est surtout de savoir ce que tu veux prouver.
        Si je demande quel est le chiffre après le dernier sachant qu'il y en a une infinité ...
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        Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

          14 mai 2021 à 9:54:39

          Il me semble qu'y a une bijection entre R et N^N. C'est peut-être ce dont tu parles, mais effectivement on ne sait pas trop quelle est ta conclusion...

          -
          Edité par robun 14 mai 2021 à 9:55:08

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            15 mai 2021 à 14:40:41

            pour moi l'infini < constante puissance l'infini < l'infini puissance l'infini < constante puissance l'infini puissance l'infini <... en quelque sorte
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              15 mai 2021 à 15:57:53

              Attention qu'en maths le mot infini a deux sens :

              − Quand on dit qu'une suite tend vers l'infini, c'est une façon de parler, c'est juste une expression (pour dire que les termes peuvent être aussi grands qu'on veut à partir d'un certain rang). Pareil pour une fonction qui tend vers l'infini. Dans ce cas, l'infini n'existe pas en tant qu'objet mathématique, juste en tant qu'élément de vocabulaire.

              − L'infini défini par Cantor est un objet mathématique. Mais il y a plusieurs infinis (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini ) et ce n'est pas trivial.

              -
              Edité par robun 15 mai 2021 à 15:58:08

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                15 mai 2021 à 18:47:12

                Et l'infini de R n'est pas le même que l'infini de R² ou R ³
                Exemple d'une suite infinie dont le résultat n'est pas infini:
                1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n + ...  converge vers 2
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                Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

                  15 mai 2021 à 20:18:41

                  Sans cadre formel, les phrase d'AxelTurpin n'ont pas de sens défini. Soit il précise le formalise, le contexte … et dans ce cas son questionnement pourrait avoir une réponse soit il ne le fait pas et ą revient à avoir une discussion de pochtrons accoudés à un zinc.
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                    16 mai 2021 à 17:59:24

                    R et R² ont bien le meme infini car il existe une bijection d'apres:(https://www.ilemaths.net/sujet-bijection-de-r-dans-c-368243.html) ou il se trompe ? si j'ai compris a partir d'un element de R il prend un chiffre sur 2 pour faire un element de R² et l'autre chiffre sur 2 pour faire l'autre elements de R² et inverserment il met les chiffres à la suite pour aller de R² dans R. D'apres mon approcher en metant au carre on obitient constante puissance infini x 2
                    Or infini x 2 = infini donc ca revient a la meme taille.

                    Remarque: Dans mon approche une constante puissance l'infini = n'importe quelle constante puissance infini avec des constante superieur à 1. car on peut faire le meme raisonnement en base 2 et conclure que la taille de R est 2 puissance infini par exemple.

                    -
                    Edité par AxelTurpin 16 mai 2021 à 18:29:59

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                      16 mai 2021 à 18:49:59

                      Mais où veux-tu en venir ? Tu veux refaire la théorie des nombres transfinis ? Étudies-la, plutôt.

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                        16 mai 2021 à 18:51:21

                        AxelTurpin a écrit:

                        R et R² ont bien le meme infini car il existe une bijection d'apres:(https://www.ilemaths.net/sujet-bijection-de-r-dans-c-368243.html) ou il se trompe ?

                        Il existe des bijections entre ℝ et ℝ² , ces deux ensembles ont donc le même cardinal (pas inifini, cardinal). L'infini n'est pas un nombre que tu pourrais manipuler comme un nombre.

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                          16 mai 2021 à 19:18:43

                          Il y a aussi une notation : \( \overline{R} = \{-\infty\} \cup R \cup \{+\infty\} \)

                          Mais ce n'est qu'une notation (que personnellement je n'aime pas : elle ne sert qu'à abréger).

                          Car mettons qu'on veuille considérer ∞ comme une sorte de nombre étendu. On note son opposé -∞, et par définition : ∞ - ∞  = 0.

                          On doit définir l'addition et la multiplication :

                          • ∞ est un élément absorbant pour l'addition : ∞ + x = ∞  (y compris si x = ∞ , mais pas si x = -∞ ).
                          • ∞ est un élément plus ou moins absorbant pour la multiplication : ∞ ⋅ x = ∞ si x positif, -∞ si x négatif, mais 0 si x = 0.
                          • On notera en particulier que ∞ ² = ∞ .

                          Notons que ∞ ⋅ 0 = 0 : 0 reste un élément absorbant pour la multiplication.

                          Démonstration : ∞ ⋅ 0 = ∞ ⋅ (∞  - ∞) = ∞ ² - ∞ ² = ∞  - ∞  = 0.

                          Autre remarque : ∞ ne peut pas avoir d'inverse (tout comme 0). En effet, ∞ ⋅ x = 0 ou ∞, mais jamais 1.

                          Considérons à présent la suite (n) et la suite (n²) (pour n entier naturel). On a :

                          lim(n) = ∞ , lim(n²) = ∞ , mais lim(n² - n) ≠ ∞ - ∞  donc ≠ lin(n²) - lim(n)

                          De plus : lim(1/n) ≠ 1/∞ puisque lim(1/n) = 0 qui n'est pas l'inverse de ∞.

                          Bref, ça ne sert pas pour manipuler des limites. Du coup ça ne sert à rien.

                          -
                          Edité par robun 17 mai 2021 à 10:26:48

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                            17 mai 2021 à 7:35:45

                            De plus ∞ n'est pas non plus le cardinal de ℝ ... ce dernier est noté ℭ la puissance du continu.

                            -
                            Edité par White Crow 17 mai 2021 à 7:37:19

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                              20 mai 2021 à 11:26:48

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                                20 mai 2021 à 11:38:09

                                Il me semble que c'est comme pour l'axiome d'Euclide : on peut poser en axiome qu'il n'y a pas d'infini intermédiaire, ou qu'il y en a.
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                                  20 mai 2021 à 13:47:36

                                  Si vraiment ça t'intéresse Axel, il y a un approche originale de Conway pour construire des ensembles de nombres avec lesquels il est possible de donner un sens à une expression comme : «la racine carrée de l'infini moins 1», «l'infiniment petit c'est l'inverse de l'infiniment grand», «l'infini plus 1», «2 exposant l'infini», etc  …

                                  Elle a été bien vulgarisée (mais ça va dépendre de ton niveau en math) par Knuth (ouaips, que de grands noms !) dans un petit fascicule : Les Nombres Surréels, ou comment deux anciens étudiants découvrirent les mathématiques pures et vécurent heureux. En suivant le lien tu trouveras une version française.

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                                    20 mai 2021 à 18:27:47

                                    Merci, Si ca interrese d'autre monde, j'ai trouver ca aussi: https://www.mathemathieu.fr/art/articles-maths/44-infini-infinis-vers-hyp-continu#:~:text=Revenons%20%C3%A0%20nos%20r%C3%A9els...,(%20R%20)%20%3E%20%E2%88%9ER%20.

                                    Dedans il est dit que si il y a n elements dans X alors P(X) en a 2^n, on retrouve le fait que les puissance agrandissent l'infini.
                                    Ca a peu d'utilité, mais j'aime bien cette representation.

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