Bonjour à tous, j'ai un petit exercice dans un DM, je l'ai réussi mais il y a une étape dont je n'arrive pas à "démontrer". Voici l'énoncé de l'exercice :

Citation

Proposer, et la définir explicitement par une relation algébrique, une fonction réelle f dont la
courbe représentative ait l’allure suivante avec 2 asymptotes verticales, une asymptote horizontale
et une tangente horizontale en O. Expliquez les raisons de vos choix.

http://planftp.archive-host.com/fichie [...] lle_image.jpg

Donc les asymptotes verticales sont dues à des valeurs interdites, on a donc <math>\(f(x) = \frac{g(x)}{(x+2)(x-2)}\)</math>. Après, j'ai considéré que <math>\(g(x)\)</math> était un polynôme du second degré, mais je ne sais pas pourquoi. Après j'ai trouvé que <math>\(g(x) = ax^2 + bx + c = ax^2\)</math> et après suffit de trouver a et ça fonctionne. Mais comment je prouve que c'est un polynôme du second degré ?

As-tu tenu compte du fait que les asymptotes horizontales en <math>\(+\infty\)</math> et en <math>\(-\infty\)</math> sont d'équation <math>\(y=-1/4\)</math> ?
Il faut en tirer une conclusion !
Comment justifies tu tes résultats sur <math>\(g\)</math> (Qui peuvent être justes effectivement selon le choix de <math>\(a\)</math>)
Quel est le signe de a ?

Je voulais pas rentrer dans les détails. Pour c = 0 c'est parce que <math>\(f(0) = 0\)</math> et b = 0 c'est parce que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Pour les horizontales, <math>\(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{g(x)}{(x+2)(x-2)} = -\frac{1}{4}\)</math>

En développant le dénominateur ..

Ah ah merci, et après on utilise le fait que la limite d'une fonction rationnelle en plus ou moins l'infini est la limite du quotient du terme de plus haut degré du numérateur et du terme de plus haut degré du dénominateur. Du coup pour avoir une constante, il faut que ces termes s'annulent, et donc que le numérateur soit du même degré que le dénominateur, donc sous la forme <maths>ax^2 + bx + c</maths>.

Merci !