Bonjour à tous,

Actuellement en 2ème année de prépa, je me pose des questions sur mon TIPE (je sais je suis pas en avance :p). Ce TIPE serait plutôt pour les ENS sachant que j'ai déjà des slides tout beaux, tout prêts pour le tétraconcours.

Au départ, j'étais parti sur de la théorie des graphes appliqués aux réseaux sociaux ; mais après recherches et réflexions j'ai vu que je ne pourrais pas faire d'études conséquentes et intéressantes des graphes de réseaux sociaux (sachant que c'est archi-confidentielle ou sinon beaucoup trop complexe).

Au début de cette année, j'ai vraiment découvert la topologie avec qui ça a été le coup de foudre ! J'ai donc décidé de réorienter mes recherches là-dessus. Et j'ai eu une idée (sûrement pas été le seul :p) : on fait de la topologie sur R et sur C mais pourrait-on faire de la topologie dans Z/pZ ? Imaginer une distance avec des relations de divisibilité ou par rapport à l'inverse dans Z/pZ ?

On m'a aussi parlé des graphes expanseurs qui seraient une étude de la topologie de Z/pZ à travers des arcs entre les classes et leurs inverse ?

Tous ces sujets me paraissent terriblement passionnants mais je n'ai rien trouvé d'introductif/accessible mais en même temps suffisamment pointu pour un TIPE d'ENS.

Que pensez-vous de ces sujets? Quelqu'un parmi vous en aurait peut-être déjà croisé? Bâtir un TIPE là-dessus est-il envisageable sans être insurmontable ?

Merci d'avance

Yaahhrr

Citation : Yaahhrr

on fait de la topologie sur R et sur C mais pourrait-on faire de la topologie dans Z/pZ ? Imaginer une distance avec des relations de divisibilité ou par rapport à l'inverse dans Z/pZ ?

On peut faire de la topologie avec n'importe quel ensemble. Mais étant donnée la tournure de ta phrase il semble que tu ne sois au fait que de la topologie induite par un espace métrique. Pas besoin de définir une distance pour définir une topologie, et une topologie donnée peut n'être induite par aucune distance (on parle de topologie non-métrisable).

Si tu n'as jamais fait de topologie générale ça peut être un peu délicat comme sujet. Mais certainement faisable si tu es motivé !

Je ne sais pas si tu peux faire quelque chose d'intéressant avec seulement des topologies métriques sur un espace fini... En fait non je pense pas... En fait carrément pas, toute métrique sur un ensemble fini induit la topologie discrète (la topologie où toutes les parties sont ouvertes)... C'est pas la topologie la plus passionnante...

Par contre tu peux définir une métrique sur <math>\(\mathbb Z\)</math> liée à la divisibilité qui n'induit pas la topologie discrète, c'est un peu plus intéressant !

Le principal problème c'est que les topologies de Z/pZ ne sont pas très intéressantes ... ce sont en effet des groupes discrets.
Mais je trouve que l'étude de graphes appliqués aux réseaux sociaux peut être une bonne idée si cela est traité correctement.

Je m'explique :
faire une théorie général sur ces graphes que l'on appelle "graphe du petit monde" est une très mauvaise idée pour un TIPE. Cependant, plusieurs questions intéressantes ont tout à fait leur place. Par exemple, si l'on génère un graphe de façon aléatoire (ce qui est à définir), on n'obtient pas ce genre de graphe.

Comment générer de tels graphes, comment les utiliser ? Ce sont des questions d'algorithmiques, avec pas mal de maths accessibles intéressantes et sur lesquelles tu peux travailler. Quantifier les différences entre différents algos, donner certaines propriétés théoriques, trouver des champs d'application, etc.

Ce n'est pas un sujet forcément facile (faire un TIPE en maths pures est vraiment délicat) mais je pense qu'avec un peu d'originalité, un peu de touche personnelle, cela pourrait être très bien. Il faut une démarche vraiment scientifique. Cela ne veut pas dire faire des maths difficile, mais voir le sujet sous un oeil curieux et tenter de répondre aux très nombreuses questions qui viennent à toi.

Bonjour,

Citation

Tous ces sujets me paraissent terriblement passionnants mais je n'ai rien trouvé d'introductif/accessible mais en même temps suffisamment pointu pour un TIPE d'ENS

Je me pose une question à laquelle tu as surement réfléchi et je m'en excuse par avance si elle est non fondée mais elle m'est inspirée par la lecture de certains rapports d'oraux de concours ( ENS comprises)

Comme il est dit précédemment, ce sujet bascule a priori assez vite d'une étude topologique assez limitée à des choses complexes.

Ma question est donc:
est ce que le coeur du sujet dans sa version "complexe" s'appuiera essentiellemnt sur des choses hors programme? Si la réponse est non , le commentaire qui suit n'a plus d'intérêt
Si elle est oui...à bien méditer sur le choix et sa propre capacité à dominer complétement ce hors programme.


Car on a quand même l'impression dans ces rapports que l'examinateur ne voit pas toujours d'un trop bon oeil l' utilisation systématique des notions trop hors programme et en tout cas , "il ne manquera pas d'appuyer là où ça peut faire mal "
( c'est évidemment différent si on utilise des notions du programme pour construire quelque chose dont la conclusion ne l'est pas )

Donc que ce soit en TIPE ou pour l'oral classique, la non maitrise d'un hors programme est le plus souvent sévérement sanctionnée.
Et , le risque de se faire surprendre par des questions déstabilisantes y est évidemment plus fort et cela peut plus que contrebalancer l'originalité d'un projet ou d'une démonstration.

Je reconnais que ces généralités ne sont pas trés mathématiques, mais essentielle je pense pour choisir un sujet difficile mais pouvant s'appuyer sur des connaissances de base sans faille.
Chaque année , certains candidats regrettent une ambition ...un peu trop mathématiques.
Celle-ci pourra se donner libre cours ...aprés avoir intégré!

Tout d'abord merci à tous pour vos réponses,

Citation : revan

On peut faire de la topologie avec n'importe quel ensemble. Mais étant donnée la tournure de ta phrase il semble que tu ne sois au fait que de la topologie induite par un espace métrique. Pas besoin de définir une distance pour définir une topologie, et une topologie donnée peut n'être induite par aucune distance (on parle de topologie non-métrisable).

Je me doutais qu'avec la topologie des espaces discrets (et ici même fini) on revient rapidement sur ses pas
J'avais commencé à lire un cours de topo générale et si je ne me trompe pas, la topologie induite d'un espace est la donnée de l'ensemble de ses ouverts c'est bien ça? À partir desquels on peut déduire toutes les notions topologiques : ouverture, fermeture, densité, continuité, convergence...

C'est vrai que si l'on s'affranchit des distances qui peuvent paraitre réductrice dans Z/pZ, ça ouvre nombre de possibilités ! Petite question naïve, même si le nombre d'ouverts est nécessairement fini (majoré par 2^p ?), ça reste intéressant ?

Citation : nabucos

Ma question est donc:
est ce que le coeur du sujet dans sa version "complexe" s'appuiera essentiellemnt sur des choses hors programme? Si la réponse est non , le commentaire qui suit n'a plus d'intérêt
Si elle est oui...à bien méditer sur le choix et sa propre capacité à dominer complétement ce hors programme.

Après en avoir parlé avec d'anciens élèves et certains de mes professeurs, si hors-programme il y a ; maitrisé complètement il sera J'ai entendu trop d'histoires d'élèves descendus car incapable de démontrer un des lemmes annexes de leur TIPE ...

Citation : Aladix

Par exemple, si l'on génère un graphe de façon aléatoire (ce qui est à définir), on n'obtient pas ce genre de graphe.

Ce serait des probas ça non ? Je suis pas du tout du tout proba ...

Encore merci en tout cas !

Citation : Yaahhrr

C'est vrai que si l'on s'affranchit des distances qui peuvent paraitre réductrice dans Z/pZ, ça ouvre nombre de possibilités ! Petite question naïve, même si le nombre d'ouverts est nécessairement fini (majoré par 2^p ?), ça reste intéressant ?

Intéressant je ne sais pas, mais j'en doute très fortement. En tout cas je n'ai jamais vu de réelle utilisation d'une topologie sur Z/pZ. Par contre on peut construire des mesures très intéressantes sur les groupes discrets (mesure de Haar) mais là on va dans des domaines beaucoup trop complexes pour un TIPE ...