Bonsoir,

J'essaye démontrer (sans récurrence) : <math>\(\sum_{k=0}^{n}{\cos(kx)}-\frac{1}{2} = \frac{\sin\left(x\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\)</math>.

Pour l'instant, j'ai réussi à démontrer grâce au nombres complexes que :

<math>\(\sum_{k=0}^{n}{\cos(kx)} = \frac{\sin(x(\frac{n+1}{2}))}{\sin(\frac{x}{2})}\cos(\frac{nx}{2})\)</math>

Le problème c'est que je suis incapable d'intégrer le -1/2 de manière à obtenir l'expression cherchée, de plus je ne vois vraiment pas comment obtenir l'argument du sinus au numérateur. J'ai beau eu retourné cette expression dans tous les sens, il n'est jamais apparu).

Merci d'avance et bonne soirée.
Lithrein

Tu es bien parti, ton expression de la somme est juste.

Pour la suite, je te conseille de développer le sinus au numérateur. Tu développes encore une fois avec le <math>\(\cos(\frac{nx}{2})\)</math>, ce qui va te donner trois termes en prenant en compte le 1/2.

Essaie ensuite de mettre en facteur (même de force) <math>\(\frac{1}{2 \sin(\frac{x}{2})}\)</math> ; tu vas tomber sur des expressions te rappelant certainement des formules trigonométriques

Si tu veux plus d'aide, n'hésite pas à demander !

Je te remercie pour ton aide, j'ai fini par trouver.