Bonjour à tous

Je suis un passioné de l'informatique et de la programmation.

J'ai crée ma propre version de fractal (qui reprend en fait le même principe que l'arbre de pythagore).

Si vous voulez savoir ce que cela donne vous pouvez faire un petit tour ici .

https://codepen.io/m-metore/pen/Mxvqdq

Voici mon problème j'ai une fonctionne itéartive, U0=200; Un+1 = Un * 0.7

ou Un =U0 * 0.7^n.

Ensuit je multiple mon angle x en (rad) par cette formule :

f(x) = x * sin(Un).

Ma question est existe -t-il un nombre entier x pour lequel (fx) donne un nombre entier.

Autrement dit il faut résoudre f(x)= 2 * PI;

où x est un nombre entier.

Je pense qu'il n'xiste pas un x tel que cette équation soit vraie .Avez -vous une idée de comment il faut le démontrer.

Merci à vous

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Edité par meteor141421356237 21 mars 2019 à 21:17:48

Quelque soit n, f(0) = 0

Ça respect bien ta condition non ? Car a la fois x et f(x) sont des entiers.

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Edité par Tiffado 21 mars 2019 à 17:43:18

oui pardon j'ai oublie de préciser pour x != 0

par ailleurs pour x = 0 le dessin est un trait vertical et j'ai même pu calculer sa longueur je ne sais pas si j'étais assez explicite

désolé pour cet imprécision

On cherche x ? ou on cherche n ?  ou on cherche un couple (n,x) ?

Et je je vois pas pourquoi ni comment la condition f(x) est un entier devient f(x) = 2*PI.

Ce n'est vraiment pas clair. 

désole je reconnais je me suis mal exprimé , en fait je veut simplement résoudre cette équation 

x * sin(U0 * 0.7^n) =  2  * PI; (où x et n  sont des nombres entier) et on cherche x

Ps: on peut remplacer U0  par 200

on peut conjecturer que il n'y a pas de \(x\) entier qui vérifie l'équation, mais la conjecture ne parait pas évidente à montrer .

Car si \(x\) est entier , \(\frac{2\pi}{x}\) est un nombre transcendant. 

Or \(  200 (\frac{7}{10})^n\) et un nombre rationnel.

Mais  on montre que \(\sin(a)\) est toujours transcendant si \(a\)  est algébrique et un rationnel est un cas particulier de nombre algébrique. C'est la conséquence du théorème dit de Lindemann-Weierstrass   ( cf. ce nom pour précisions ), ce théorème permet de montrer que de nombreux nombres sont transcendants.

Donc on ne peut conclure par simple incompatibilité sur la  nature algébrique des deux membres. Alors montrer explicitement que \(  \sin(200 (\frac{7}{10})^n)\) que on sait donc transcendant ne peut pas être une fraction de \(\pi\) pour certains couples \((n,x)\), c'est peut être vrai  mais la preuve explicite ne saute pas aux yeux, semble-t-il.( il faudrait montrer par exemple que \(  \arcsin( \frac{2 \pi}{x} )\) ne peut être rationnel)

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Edité par Sennacherib 21 mars 2019 à 23:22:28

merci beaucoup de votre aide , mine de rien ça explque pas mal de chose.

J'ai globalement compris votre raisonnement néanmoins je ne comprends pas pourquoi  sin(200(710)n) que on sait donc transcendant ne peut pas être une fraction de π pour certains couples (n,x) ?

En  tout cas vous m'avez confirmé que le nombre x ne peut être un entier  et rien que pour ça MERCI

MeteoreMeteore a écrit:

 néanmoins je ne comprends pas pourquoi  sin(200(710)n) que on sait donc transcendant ne peut pas être une fraction de π pour certains couples (n,x) ?

En  tout cas vous m'avez confirmé que le nombre x ne peut être un entier  et rien que pour ça MERCI

euh, c'est normal que vous ne compreniez pas puisque ce n'est pas ce que j'ai dit ...   Relisez,   je dis simplement c'est peut-être (probablement ?)  vrai mais pas évident à montrer a priori. 
Donc je ne confirme pas que x ne peut être un entier. Comme indiqué, une possibilité serait de  montrer que \(\arcsin(\frac{2\pi}{x})\) ne peut être rationnel avec \(x\) entier ... ce que je n'ai pas fait  .  

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Edité par Sennacherib 22 mars 2019 à 0:09:20