Bonjour,

Je tente de résoudre un petit exercice mais sans résultat. Voici la donnée :

Citation

Donner l'ensemble des polynômes p(z) non nuls, de la variable z appartenant à ℂ, qui sont à coefficients réels, de plus petit degré possible et qui s'annulent en 1, -1 et j.

Je peux facilement obtenir les racines d'un polynôme p(z) par la méthode de Horner mais je ne vois pas comment aller dans l'autre sens.

Le seul polynôme que je peux imaginer est p(z) = (z - 1)(z + 1)(z - j) ce qui donne un polynôme du 3ème degré à coefficients non-réels.

Une idée sur la marche à suivre ?

Merci d'avance

Un polynome sous forme factorisé peut se mettre sous la forme :
<math>\(P = a\cdot\Pi(X - r_i)^{m_i}\)</math>
Avec <math>\(r_i\)</math> la ième racine et <math>\(m_i\)</math> sa multiplicité associé et <math>\(a\)</math> le coefficiant du polynome.

Tu sais que ton polynome est non nul et qu'il s'annule en 1, -1 et j. Donc il se met sous la forme :
<math>\(P = a\cdot(X - 1)^{m_1}(X + 1)^{m_2}(X - j)^{m_2}\)</math>

Tes multiplicités sont égale à 1 pour avoir le polynome de plus petit degré.
Donc l'ensemble des polynomes solutions est :
<math>\(E = \{a\in\mathbb{R}, a(X - 1)(X + 1)(X - j)\}\)</math>

salut,
j est tel que <math>\(j^2 = -1\)</math> ? si c'est le cas
alors tes polynomes seront de la forme <math>\(P(z) = \lambda(z-1)(z+1)(z^2+1), \lambda \in \mathbb{R}\)</math>(le lambda ne va pas changer grand chose au degré du polynome)
pour montrer l'autre sens, il suffit d'utiliser le théorème suivant :
tout polynome non constant se décompose en polynome irréductibles unitaire (de degré 1) et ces polynomes sont distincts 2 à 2, ce qui t'aidera à montrer que le plus petit polynome (au sens du degré) de l'ensemble des p(z) est de degré 4 (n'oublie pas le polynome nul car c'est une exception)

EPonix, ses polynômes doivent être à coefficients réels.

RPGamer, tu pars bien : tu sais effectivement au moins que <math>\((z-1)(z+1)(z-j)\)</math> est facteur de tes polynômes, puisque <math>\(1, -1, j\)</math> sont racines. Donc tes polynômes sont de degré au minimum égal à 3, et on voit bien qu'un polynôme de degré exactement égal à 3 ne peut pas être solution, puisqu'il ne pourrait pas être à coefficients réels.

Il faut donc ajouter un facteur ; je te suggère donc de chercher tes solutions sous la forme <math>\(P(z) = (z-1)(z+1)(z-j)(az+b)\)</math>, avec <math>\(a, b \in \mathbb C\)</math>, et de trouver à quelle condition sur <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> le polynôme sera à coefficients réels... cela te donnera la solution .

Salut, je rajoute juste un sur-indice à celui de Locke qui, si tout se passe bien, te permettra de trouver la réponse, mais au cas où, le voilà en secret:

.

Juste pour reprendre ce qu'à dit ZeRa, la notation <math>\(j\)</math> en complexe est habituellement utilisée pour dénoter l'un des deux complexes qui vérifient l'équation <math>\(1+z+z^2=0\)</math>, en l'occurrence, <math>\(j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\)</math>.

Oups pas vu pour l'ensemble des coeffs.

Hmm, j'avais oublié que le conjugué est aussi une racine. Ça me donne donc le polynôme

<math>\(p(z) = (z-1)(z+1)(z-j)(z+j)\)</math> qui est à coefficients réels.

Il doit en exister au moins un autre, la donnée parlant d'un ensemble de polynômes. Avec le conjugué, j'ai épuisé la seule piste que j'ai.

Ici <math>\(j^2 = -1\)</math> pour éviter la confusion avec i qui est le courant alternatif sinusoïdale.

Merci pour votre aide

Citation : RPGamer

Ici <math>\(j^2 = -1\)</math> pour éviter la confusion avec i qui est le courant alternatif sinusoïdale.

Au temps pour moi, alors !

Les us et coutumes des physiciens sont souvent différents de ceux des mathématiciens... Plus d'un calcul a dû être faussé à cause de confusions dans le genre - même si dans ce cas ça ne change pas grand chose !

Edit:

Ah oui, au lieu de raconter mes p'tites histoires, j'aurai dû d'abord répondre à ta question:

En fait, il y a encore beaucoup de polynômes qui satisfont ton problème, mais ils sont tous égaux au polynôme que tu as écrit à une constante multiplicative réelle près.

Ce qui te donne, comme il a été dit dans un des précédents posts,