Bonjour tout le monde, j'aurai besoin de l'aide des zéros pour un DM que je dois rendre à la rentrée. Une dernière question me gêne toujours. Voici le lien vers le sujet. Il s'agit de la question 4.
J'ai démontré les formules de récurrence, mais l'algorithme que j'ai décrit me semble trop complexe (j'utilise le DL à l'ordre n de <math>\(A/(X^n*B)\)</math>). Alors lorsqu'il s'agit de trouver P6 (dernière question) ça devient vite un enfer. J'ai calculé tout ça avec maple et ça fonctionne mais la présentation de la dernière question laisse penser à un algorithme utilisant une division euclidienne.

Je vous remercie de m'accorder un peu de temps

(Tiens, un MPSI de mon ex-classe... J'étais en MPSI au CIV l'an dernier, MP cette année)
L'algorithme doit utiliser les formules de récurrence que tu as montré plus haut.
Il suffit juste de déterminer le <math>\(a_n\)</math>.
Or, si l'on écrit <math>\(B = b_0 + B'X\)</math> (<math>\(b_0\)</math> est non nul car 0 n'est pas racine de <math>\(B\)</math> et <math>\(Q_n = q_n + Q'_nX\)</math> (ou <math>\(R_n = q_nX^n + R'_nX^{n+1}\)</math>), on voit alors avec <math>\(A = BP_n + R_n\)</math> que l'on a aussi <math>\(A = B (P_n + X^n \frac{q_n}{b_0}) + X^{n+1}Q'\)</math> avec <math>\(Q'\)</math> un polynôme... qui sera <math>\(Q_{n+1}\)</math> (on "déplace" le terme en <math>\(X^n\)</math> dans la partie <math>\(BP_n\)</math> au lieu de la laisser dans la partie <math>\(X^nQ_n\)</math>, et on adapte le reste en conséquence).
On a donc <math>\(a_n = \frac{q_n}{b_0}\)</math>, et l'algorithme vient tout seul avec les relations de récurrence...

Serais-tu LE Basile ? Je finis un résumé de français et je jette un oeil à ça. Merci

LE Basile, LE Basile... n'exagérons rien tout de même !
Je suis le seul Basile parmi les ex-MPSI de l'an dernier en tout cas (mais j'aurais jamais pensé être reconnu sur un site internet ).
Edit : Ouais bon en même temps j'avais oublié que j'avais ce (vieux) pseudo-là avec mon prénom dedans sur ce site...
Forcément, à partir du moment où j'avais dit que j'étais au CIV en MP... ça devenait plus facile

Je viens de le faire, je trouve <math>\(a_n=q_n/B\)</math>. Je suis d'accord sur la méthode (c'est d'ailleurs comme ça que j'ai montré les formules de récurrence), ce qui m'embête c'est le déplacement : pourquoi est-ce <math>\(b_0\)</math> au dénominateur et pas <math>\(B\)</math> ?

Attention ! <math>\(a_n\)</math> est un réel, pas une fraction rationnelle...
On note <math>\(B = \sum_{i=0}^p b_i X^i\)</math> (avec <math>\(b_0\)</math> non nul car 0 n'est pas racine de <math>\(B\)</math>), et <math>\(Q_n = \sum_{i=0}^m q_{n, i} X^i\)</math>.
On a alors : <math>\(A = B P_n + X^nQ_n\)</math> pour tout <math>\(n\)</math>, de façon unique et avec <math>\(\deg P_n < n\)</math>.
Soit, avec les réécritures ci-dessus : <math>\(A = \left(\sum_{i=0}^p b_i X^i\right) P_n + X^n\left(\sum_{i=0}^m q_{n, i}X^i\right)\)</math>.
On veut mettre cette expression sous la forme <math>\(A = BP_{n+1} + X^{n+1}Q_{n+1}\)</math>, donc il va falloir déplacer le terme en <math>\(X^n\)</math> du facteur de type <math>\(X^qQ^q\)</math> vers le facteur du type <math>\(BP_q\)</math>.
On a donc : <math>\(A = BP_n + X^n q_{n, 0} + X^{n} \underbrace{\left(\sum_{i=1}^m q_{n, i} X^{i-1}\right)}_{Q_n - q_{n, 0}}\)</math>.
Mais on voudrait écrire <math>\(X^n q_{n, 0}\)</math> pour le faire rentrer dans le terme en <math>\(BP_q\)</math> !
On écrit donc : <math>\(q_{n, 0} = \frac{q_{n, 0}}{b_0} \times b_0 = \frac{q_{n, 0}}{b_0}\left(b_0 + \underbrace{\sum_{i=1}^p b_iX^i}_{B - b_0} - \underbrace{\sum_{i=1}^p b_iX^i}_{B - b_0}\right) = \frac{q_{n, 0}}{b_0} B - \frac{q_{n, 0}}{b_0}(B - b_0)\)</math> (on introduit de force le polynôme <math>\(B\)</math>).
Puis on remplace pour obtenir : <math>\(A = B P_n + X^n \left( \frac{q_{n, 0}}{b_0} B - \frac{q_{n, 0}}{b_0} (B - b_0) \right) + X^{n} (Q_n - q_{n, 0})\)</math>

D'où : <math>\(A = B (P_n + \frac{q_{n, 0}}{b_0}X^n) + X^{n} \left(Q_n - q_{n, 0} - \frac{q_{n, 0}}{b_0} \left(B - b_0\right)\right)\)</math>
Soit, <math>\(A = B \left( P_n + \frac{q_{n, 0}}{b_0} \right) + X^{n} \left( Q_n - \frac{q_{n, 0}}{b_0} B\right)\)</math> et on en déduit que <math>\(a_n = \frac{q_{n, 0}}{b_0}\)</math>.

Comme tu peux le voir, c'est assez lourd en gardant tous les termes, c'est pourquoi, étant donné ce que l'on a montré auparavant (on a ici remontré la formule de récurrence pour les deux suites de polynômes, en fait), j'ai préféré ne m'intéresser que aux termes de degré <math>\(X^n\)</math> dans ce que j'ai dit tout à l'heure, puisque l'on sait déjà que les termes de degré supérieur qui apparaîtront donneront bien le bon résultat.
Hm à la relecture, je ne suis pas sûr que ça soit très clair, j'espère que ça ira, sinon je reprendrais ça de façon un peu plus propre...

Edit : Une puissance de <math>\(X\)</math> un peu trop élevée...
De plus, on peut remarquer (c'est quand même ça qui assure la validité de la démonstration !) que <math>\(Q_n - \frac{q_{n, 0}}{b_0}B\)</math> a bien un terme constant nul (donc est bien du type <math>\(XQ_{n+1}\)</math> en écrivant ce terme constant : <math>\(q_{n, 0} - \frac{q_{n, 0}}{b_0} b_0 = 0\)</math>.

Edit² : On peut aussi montrer la relation de récurrence de la façon suivante :
<math>\(\frac{P_n}{X^n}\)</math> est la partie polaire de <math>\(\frac{A}{X^nB}\)</math> correspondant au pôle 0.
Ecrivons alors : <math>\(\frac{A}{X^{n}B} = \frac{P_n}{X^n} + F_n\)</math> avec <math>\(F_n\)</math> n'ayant pas de pôle en 0 (on peut l'écrire avec <math>\(Q_n\)</math>).
Mais on a aussi <math>\(\frac{A}{X^nB} = X\frac{A}{X^{n+1}B} = \frac{P_{n+1}}{X^n} + XF_{n+1}\)</math>.
En effectuant la différence, on en déduit que <math>\(\frac{P_{n+1} - P_n}{X^n}\)</math> n'a pas de pôle en 0, donc qu'il existe un réel (à cause de la restriction sur le degré de <math>\(P_n\)</math>) <math>\(a_n\)</math> tel que <math>\(P_{n+1} = P_n + a_nX^n\)</math> (première relation de récurrence).
Puis, en égalant <math>\(P_nB + X^nQ_n = A = P_{n+1}B + X^{n+1}Q_{n+1}\)</math>, on obtient : <math>\(X^nXQ_{n+1} = X^nQ_n - (P_{n+1} - P_n)B\)</math>, soit <math>\(X^nXQ_{n+1} = X^n(Q_n - a_n B)\)</math> et la seconde relation de récurrence.

Edit³ : Petite tentative d'expliquer un peu mieux ce que je fais ci-dessus (mais qui tombera à l'eau si vous n'avez pas encore vu les espaces vectoriels)...
Je vais noter <math>\(P_n = \sum_{i=0}^{n-1} p_iX^i\)</math> (on sait que le degré de <math>\(P_n\)</math> est au plus <math>\(n-1\)</math> et j'ai plus d'indices en stock).
Quand on écrit : <math>\(A = B \sum_{i=0}^{n-1} p_iX^i + X^n\sum_{i=0}^mq_{n, i}X^i = \sum_{i=0}^{n-1} p_i X^i B + X^n q_{n, 0} + \sum_{i=1}^mq_{n, i} X^{n+i}\)</math>, on écrit en fait les coordonnées du polynôme <math>\(A\)</math> dans la base <math>\((E^n_i)_{i\geq 0}\)</math> avec <math>\(\left\{\begin{aligned} E^n_i &=& X^iB \mbox{ si } i < n \\ E^n_i &=& X^i \mbox{ si } i \geq n\end{aligned} \right.\)</math>
Comme <math>\(B\)</math> est de valuation nulle, la famille des <math>\((E^n_i)_{i\geq 0}\)</math> est échelonnée en valuation, donc une base de <math>\(\mathbb{R}[X]\)</math>.
Et ce que l'on fait, c'est simplement un changement de base pour écrire <math>\(A\)</math> dans la base <math>\((E^{n+1}_i)_{i \geq 0}\)</math>, mais avec ce que l'on a montré auparavant, il suffit de calculer la <math>\(n\)</math>-ème coordonnée dans cette nouvelle base pour trouver le <math>\(a_n\)</math>, et ce calcul est facile à faire car le changement de base s'y prête bien.

Ok c'est bon j'ai compris ton raisonnement. Une fois la relation sur <math>\(a_n\)</math> trouvée, voilà ce que je propose :

On a <math>\(A-BP_n=X^nQ_n\)</math>. Donc le terme constant de <math>\(Q_n\)</math> est égal au terme de degré <math>\(n\)</math> de <math>\(A-BP_n\)</math>.

Soit en identifiant : <math>\(q_{n,0}=a_n*b_0=(\alpha_n - \sum \beta_{n-i})\)</math> d'où <math>\(a_n=\frac{\alpha_n - \sum \beta_{n-i}}{b_0}\)</math>

avec <math>\(A=\sum \alpha_{i}X^i\)</math> et <math>\(B=\sum \beta{i}X^i\)</math>

une meilleure solution ?

EDIT: On a commencé les EV mais les changements de base sont prévus pour la rentrée!

Hm en fait tu n'as pas besoin d'exprimer le coefficient <math>\(q_{n, 0}\)</math> en fonction des coefficients de <math>\(A\)</math> et de <math>\(B\)</math>, puisque ton algorithme va se baser sur les relations de récurrence établies (méthode itérative, on calcule <math>\((P_0, Q_0)\)</math> faciles à calculer, puis on en déduit <math>\((P_1, Q_1)\)</math>, etc.).
Par conséquent, tu aura directement accès, en effectuant ton algorithme, à la valeur de <math>\(q_{n, 0}\)</math> car tu aura tous les coefficients de <math>\(Q_n\)</math> (et de <math>\(P_n\)</math>) lorsqu'il s'agira de calculer <math>\(Q_{n+1}\)</math> et <math>\(P_{n+1}\)</math>.

De plus, ton expression de <math>\(a_n\)</math> ne peut être correcte, puisque tu ne tiens pas compte des coefficients de <math>\(P_n\)</math> (et, il est généralement conseillé de préciser les bornes de sommation, ne serait-ce que pour faciliter la lecture - \sum_{i=0}^n u_i donne <math>\(\sum_{i=0}^n u_i\)</math>).

Edit : Ah dommage pour les changements de base, j'étais fier de mon explication, tant pis...
Ce qui est bien avec ce genre de formalisme (je trouve, du moins), c'est qu'il est facile de s'y raccrocher (à condition d'avoir compris le sens de la chose) pour comprendre ce que l'on est en train de faire, lorsque l'on est un peu perdu dans une montagne de calcul... voire de déduire une méthode rapide et efficace pour éliminer tous ces calculs !

Effectivement je vais faire ça et je te tiens au courant. Et je n'ai pas précisé les bornes de sommation par fainéantise (c'est mal je sais ) et pour ne pas alourdir puisque j'aurai du introduire les degrés de A et B...

Non, la fainéantise est une composante fondamentale en mathématique... mais la rigueur aussi !
On peut se passer parfois de rigueur, à condition d'être certain que cette perte de rigueur ne nuira pas à la compréhension du public visé (ni à sa propre compréhension... à force d'omettre les indices, on peut faire des bêtises !).
Tu vois, au début tu as omis les indices par fainéantise, et finalement, cela t'oblige à écrire plus pour le justifier

En fait ce qui m'embête surtout ici, c'est <math>\(\sum \beta_{n-i}\)</math> (puisqu'on ne somme pas tous les <math>\(\beta_i\)</math>), il m'a fallu un peu de réflexion avant de comprendre quelles étaient les bornes, alors que cela aurait dû être clair - et dans une copie de concours, le correcteur ne prendra pas les quelques instants qu'il lui faudrait pour comprendre ce que cela signifie, il mettra 0 directement !
Au brouillon, ou quand on peut préciser oralement, ce n'est pas un problème, mais sur une copie ou quand le texte est destiné à être lu "en différé", c'est quand même mieux ! (Reprends mon message de tout à l'heure en enlevant les bornes... facile de faire des confusions !)

Enfin bon, ce n'est pas gravissime non plus, bien sûr...

Bonne chance pour la suite en tout cas, et n'hésite pas à demander si une autre question te pose problème !

C'est bon j'ai rédigé tout ça proprement et j'ai vérifié avec Maple, ça marche. Je te remercie.

Svp j'aurais besoin d'aide pour la suite du DM, c'est pour demain matin et j'y arrive pas.

Citation : AxelB

Svp j'aurais besoin d'aide pour la suite du DM, c'est pour demain matin et j'y arrive pas.

Ton exo n'est autre que la division suivant les puissances croissantes (c'est plus au programme ?) : c'est tout bête, tu fais comme une division euclidienne mais au lieu de chercher à éliminer les termes de plus haut degré, tu élimines les termes de plus bas degré à chaque étape, c'est donc un algo plus ou moins trivial, seule les notations lourdes peuvent ralentir la compréhension.

Je suis quand même surpris de voir un énoncé aussi compliqué, faisant appel à autant de connaissances pour un résultat aussi élémentaire et autonome (13 lignes très compréhensibles dans Arnaudiès-Fraysse et qui ne suppose que les définitions de base sur les polynômes).

Les divisions suivant les puissances croissantes ne sont plus au programme, et c'est vrai que l'algo est tout bête (le prof l'a expliqué).
Dommage, car c'est très utile pour calculer les développements limités un peu compliqués (du style tangente...).

Citation : NicolasTrinquier

Dommage, car c'est très utile pour calculer les développements limités un peu compliqués (du style tangente...).

Exact quoique pour tangente, il existe une astuce assez amusante qui dispense complètement de passer par un quotient.

A quelle "astuce assez amusante" fais-tu allusion ?
Je ne vois aucune méthode parmi celles que je connais (inverser le développement d'<math>\(\mathrm{Arctan}\)</math>, utiliser <math>\(\tan' = 1 + \tan^2\)</math>, remarquer que <math>\(\tan(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( -\ln\left(\cos(x)\right) \right)\)</math>, ou le quotient <math>\(\frac{\cos}{\sin}\)</math> qui est l'une des pires méthodes) que l'on peut qualifier d'astuce assez amusante.

Peut-être n'ai-je pas saisi le sens de l'une des méthodes, ou alors tu fais allusion à une autre méthode que je ne connais pas.
En tout cas, un peu plus de précision serait bienvenue.

Citation : cbasile06

utiliser <math>\(\tan' = 1 + \tan^2\)</math>

Oui, celle-là.


L'idée est de calculer un dl de <math>\(\tan\)</math> à l'ordre <math>\(2p+3\)</math> à partir du dl à l'ordre <math>\(2p+1\)</math> (on utilise le thm d'intégration des dl). On obtient une relation de récurrence permettant de calculer les coefficients très facilement. TCF, on obtient la relation

avec <math>\(a_0=1\)</math>.