Bonjour,
Je lis un livre très intéressant sur les réseaux, et pour aborder la couche physique, Tanenbaum nous propose une petite introduction aux séries de Fourier. Malheuresement dans ma filière de maths-info, je n'ai pas la chance d'avoir de module sur cette branche des mathématiques, et j'en viens à votre aide pour comprendre.

En premier lieu, l'auteur nous donne la formule de base, à savoir que toute fonction périodique quelconque g(t) et de période T peut s'exprimer ainsi :
<math>\(g(t)= \frac {1} {2} c = \sum_{n=1}^{\infty} a_n sin(2\pi nft) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n cos(2\pi nft)\)</math> .

Puis il nous dit que l'on peut trouver <math>\(a_n\mbox{ et } b_n\)</math> ainsi :

Comme on a (1) : <math>\(\int_0^T sin(2\pi kft)sin(2 \pi nft)dt= 0 \mbox { pour } k \neq n, \mbox{ ou } \frac{T} {2} \mbox{ pour } k = n\)</math>.

Comme on a (2) : <math>\(c = \frac{2}{T} \int_0^T g(t) dt\)</math>

Il en déduit :

<math>\(a_n = \frac {2} {T} \int_0^T g(t) sin(2\pi nft)dt\)</math>
<math>\(b_n = \frac {2} {T} \int_0^T g(t) cos2\pi nft)dt\)</math>

Dans tous les cas, je comprend pas comment il obtient ces formules, pourquoi la multiplication par une intégrale etc... Je suis littéralement perdu.

Ensuite, vient l'interprétation physique de la chose. Il donne l'exemple avec l'envoie d'un bit. Malheuresement, je suis incapable de faire un schéma. Mais comme tout bon physicien que vous êtes en lisant ceci, je pense que vous êtes capable de représenter le signal numérique correspondant à la série de bit suivant (01100010).

Une fois ceci fait, il dit, et là, de la même manière, incapable de savoir comment il trouve ça :
<math>\(c= \frac {3} {4}\)</math>
<math>\(a_n = \frac{1} {n\pi } \left[ cos(\frac{\pi n}{4})- cos(\frac{3\pi n}{4})+ cos(\frac{6\pi n}{4})-cos(\frac{7\pi n}{4})\right]\)</math>
<math>\(a_n = \frac{1} {n\pi } \left[ sin(\frac{3\pi n}{4})- sin(\frac{\pi n}{4})+ sin(\frac{7\pi n}{4})-sin(\frac{6\pi n}{4})\right]\)</math>

Il parle ensuite de l'expression : <math>\(\sqrt{a_n^2+b_n^2}\)</math> , qui si j'ai bien compris est la valeur d'une harmonique, ou bien ce qu'il appelle "la valeur d'amplitude moyenne". Il dit que ces valeurs sont intéressantes, car leur carré est proportionnel aux quantités d'énergie transmises par les signaux aux fréquences correspondantes.

Je m'intérroge de plus en plus, car il mélange physique et mathématiques. Physiquement, par rapport au signal numérique <math>\(a_n \mbox{ et } b_n\)</math> se sont des volts non ? Fin comment il peut en déduire ça ?

Je ne comprend pas non plus cette phrase :

Citation : Andrew Tanenbaum

Si toutes les composantes harmoniques étaient réduites dans une même proportion, on obtiendrait un signal de plus faible amplitude mais qui ne serait pas déformé -- c'est à dire qu'il garderait la même forme rectangulaire que le signal numérique

Ca veut dire quoi "réduite dans une même proportion" ?

Ensuite il passe de bande passante ce que je pense comprendre, et il dit une chose qui me surprend :

Citation : Andrew Tanenbaum

Examinons maintenant l'apparence que prendrait le signal de la figure ... si la bande passante était telle que seules les fréquences les plus basses pourraient être transmise -- en d'autres termes : si la fonction se limitait à quelques-uns des premiers termes des équations ci-dessus.

J'arrive pas, comment il arrive à traduire physiquement, le faite que les premiers termes des équations ci-dessus donnent des fréquences basses... Je pense réellement bloqué sur l'analogie entre une courbe de Fourier et un signal numérique.

Je pense que j'aurais d'autres questions par la suite, mais déjà si vous arriviez à répondre à toutes mes interrogations, je serais très heureux. Evidemment, n'hésitez pas à me donner des références si vous le pouvez, en général, je n'aime pas trop les cours de mathématiques sur internet (ou sur livre) qui sont un peu trop formel, donc je n'ai pas vraiment cherché avant.

Merci d'avance,
Bonne journée.

Alors, je vais essayer de te donner deux trois éléments de réponse, si ça ne te suffit toujours par, t'auras qu'à demander plus de précisions, moi ou quelqu'un d'autre répondra.

Alors, pour ce qui est des coefficients a et b:
Comme toujours quand on touche aux fonctions sinusoïdales, on doit prendre en compte deux paramètres importants, l'amplitude et le déphasage (ici la fréquence est gérée par n). Sans ces deux paramètres, tu ne peux décrire complètement n'importe quelle fonction périodique. Donc a et b ne représentent rien de physique au premier abord, ce qu'il faut regarder c'est l'amplitude <math>\(\sqrt{a^2+b^2}\)</math> et le déphasage étant donné par Atan(b/a).
En pratique, on utilise plutôt les nombres complexes, ça simplifie grandement les choses (mais ça revient au même).

Si toutes les composantes harmoniques étaient réduites dans une même proportion veut dire qu'on multiplie toutes les harmonique de la même façon, par exemple on multiplie tout par deux, ou on divise tout par trois. Tu ne fais que changer l'amplitude du signal dans ce cas, mais pas sa forme.

C'est un des grand principes découvert grâce aux séries de Fourier, si tu élimine des harmonique (par exemple les hautes fréquences), tu va changer la forme su signal qui va ressembler de plus en plus à un signal sinusoïdale. Regarde du côté des Phénomènres de Gibbs

Tu réponds pas vraiment à mes questions du début. J'aurais aimé savoir d'où sorte ces formules, l'intérêt de multiplié par sinus, comment se fait-il que l'amplitude soit <math>\(\sqrt{a^2+b^2}\)</math>. J'ai vu sur wikipédia qu'on utilisait les nombres complexes. Fin bref, si pour m'expliquer tu préfères passer en complexe pourquoi pas, mais je ne comprend toujours pas. Et l'article sur les phénomènes de Gibbs ne m'aide pas vraiment malheureusement.

Merci quand même

En fait, l'idée, c'est que les fonctions <math>\((\cos(2\pi nft),\sin(2\pi nft))_{n\in\mathbb{N}}\)</math> forment une base de l'ensemble des fonctions périodiques de fréquence <math>\(f\)</math>, un peu comme <math>\((\vec{i},\vec{j})\)</math> forme une base du plan. On peut donc représenter n'importe quelle fonction périodique de fréquence <math>\(f\)</math> sur cette base, encore faut-il trouver les bons coefficients.
Pour cela, on définit le produit scalaire suivant sur l'espace des fonctions périodiques de période <math>\(T=\frac{1}{f}\)</math> : <math>\(<u,v> = \int_0^Tu(t)v(t)dt\)</math> (on vérifie que cela a bien les propriétés d'un produit scalaire)

A partir de là, on peut raisonner comme si on était dans le plan avec des vecteurs habituels, on va d'ailleurs poser <math>\(\vec{i}_n = t\mapsto\cos(2\pi nft)\)</math>, <math>\(\vec{j}_n = t\mapsto\sin(2\pi n f t)\)</math> et <math>\(\vec{u} = t\mapsto g(t)\)</math>.

On a donc (ton équations (1)) :
<math>\(\forall n,\ \forall k\neq n,\\)</math><math>\(<\vec{i}_n,\vec{i}_k> = 0, <\vec{j}_n,\vec{j}_k> = 0, <\vec{i}_n,\vec{j}_n>=0,\\)</math><math>\(<\vec{i}_n,\vec{i}_n>=||\vec{i}_n||^2=\frac{T}{2}\text{ et }<\vec{j}_n,\vec{j}_n>=||\vec{j}_n||^2=\frac{T}{2}\)</math>
c'est-à-dire que la base est orthogonal, mais pas normée (les vecteurs de base ne sont pas de norme <math>\(1\)</math> mais <math>\(\sqrt{\frac{T}{2}}\)</math>)

On projette alors <math>\(\vec{u}\)</math> sur cette base : <math>\(\vec{u} = \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{<\vect{u},\vec{i}_n>}{||\vec{i}_n||}\frac{\vec{i}_n}{||\vec{i}_n||}+\frac{<\vect{u},\vec{j}_n>}{||\vec{j}_n||}\frac{\vec{j}_n}{||\vec{i}_n||}\right)\)</math>

On reconnait la somme qu'on te donne au départ et on identifie donc :
<math>\(a_n = \frac{<\vect{u},\vec{j}_n>}{||\vec{j}_n||^2}=\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\sin(2\pi nft)dt\)</math>
<math>\(b_n = \frac{<\vect{u},\vec{i}_n>}{||\vec{i}_n||^2}=\frac{2}{T}\int_0^Tg(t)\cos(2\pi nft)dt\)</math>

Au final, si on y regarde bien, il ne s'agit en fait que de géométrie.
J'espère que ça t'aura éclairé pour la première partie de la question.

Pour la seconde partie, <math>\(\sqrt{a_n^2+b_n^2}\)</math> correspond à la norme de la projection de <math>\(\vec{u}\)</math> sur le plan engendré par les deux vecteurs <math>\(\vec{i}_n\)</math> (peut-être à <math>\(\frac{T}{2}\)</math> près, j'ai pas vérifié, mais c'est l'idée qui est intéressante ^^) et <math>\(\vec{j}_n\)</math>, qui correspond en fait au "plan de la fréquence <math>\(nf\)</math>", ça représente donc l'importance que représente la fréquence <math>\(nf\)</math> pour <math>\(g\)</math>.

Si tu as compris que les a_n et b_n sont simplement les coefficients d'une projection dans une base, il devrait être plus facile de comprendre que si tu multiplies tous ces coefficients par un même nombre, c'est comme si tu multipliais le vecteur initiale par ce nombre, il n'est donc pas déformé (il ne change pas de "direction") mais sa norme diminue.

Édit : j'étais allé un peu vite hier et j'avais oublié quelques carrés sur les normes.

Déjà, l'idée de voir ça sous forme de base m'aide bien. J'ai pas le courage de vérifier tous les calculs, mais bon du moment que je comprenne le principe. Parcontre, cette histoire de somme infinie me gêne un peu... car pour chaque n, on va trouver une base qui lui est associé non ? Donc au final, c'est une somme infinie de base ?

Je me demande aussi si la formule du produit scalaire, c'est du feeling ou bien il y a-t-il une raison ? Pourquoi utiliser une intégrale ? Pourquoi ces bornes ? Et pourquoi <math>\(u(t)v(t)\)</math> ?

Merci beaucoup pour cette réponse.

Bonsoir,
Quelques précisions sur ce que tu dis dans ton dernier post

Citation : Catsoulet

Déjà, l'idée de voir ça sous forme de base m'aide bien. J'ai pas le courage de vérifier tous les calculs, mais bon du moment que je comprenne le principe. Parcontre, cette histoire de somme infinie me gêne un peu... car pour chaque n, on va trouver une base qui lui est associé non ? Donc au final, c'est une somme infinie de base ?

Je me demande aussi si la formule du produit scalaire, c'est du feeling ou bien il y a-t-il une raison ? Pourquoi utiliser une intégrale ? Pourquoi ces bornes ? Et pourquoi <math>\(u(t)v(t)\)</math> ?

1-Il y a une seule base et c'est le nombre de vecteurs de base qui est infini .
On ne travaille pas ici dans un espace vectoriel de dimension fini mais dans un espace fonctionnel de dimension infinie
A chaque n est donc associé un vecteur de base et les <math>\(a_n\)</math>, <math>\(b_n\)</math> ne sont pas autre chose que les composantes de la fonction <math>\(g(t)\)</math> dans cette base infinie
Les fonctions trigonométriques sont un exemple parmi d'autres de base orthonormée infinies .
(le polynômes d'hermite, de Legendre , etc...ne sont pas autres choses que des bases dans des espaces fonctionnels infinis)

2- Rushia a rappélé la façon de choisir le produit scalaire pour cette base.
La construction d'un produit scalaire ( ou hermitien, car en analyse de Fourier, on travaille souvent avec les complexes,)doit simplement vérifier les axiomes classiques de définition, on peut donc en général définir différents produits scalaires sur un même EV ( fini ou infini)...il n'est pas interdit cependant de le choisir comme précisé par Rushia pour se faciliter l'existence, en particulier pour avoir une B.O. C'est plus de la logique que du "feeling"

3-il faut quand même faire attention , certaines propriétés de espaces de dimension finie ne sont pas transposables à la dimension infinie, en particulier on doit s'assurer des convergences de ces sommes infinies et de l'existence de ces intégrales . Je précise simplement cela parce que ton commentaire montre que ces sommes infinies semblent te "perturber".
Mais ce n'est pas illogique, car mathématiquement , il ne suffit pas, dans un espace de dimension infinie, d'exhiber un système orthonormé infini comme celui des séries de Fourier, pour affirmer que c'est une base.
La preuve formelle que c'est bien une BO de l 'espace fonctionnel ( de Hilbert) considéré sort du cadre du post mais il n'est pas inutile de l'avoir en tête.

4-une précision sur une de tes questions , le calcul des coefficients associés à (01100010)
Pour retrouver les expressions des coefficients associés à la série de bits, je pense qu'il faut considérer la fonction <math>\(g\)</math> sur la période [0,8], valant 0 entre [0,1], 1 entre [1,3],0 entre [3,6] , 1 entre [6,7] et 0 entre [7,6]

En tout cas, le calcul des intégrales avec cette fonction conduit bien aux coefficients <math>\(a_n\)</math>, <math>\(b_n\)</math> indiqués.

5- une dernière remarque liée aux quantités <math>\(a_n^2+b_n^2\)</math>
La somme infinie sur n de cette grandeur conduit à la fameuse égalité de Parseval <math>\(\frac {1}{T}\int \vert g(t)\vert^2\)</math>dt pour les fonctions de carré sommable sur l'intervalle : c'est l'énergie finie transportée par un signal fonction des énergies contenues dans chaque harmonique.

Pour revenir sur cette histoire de produit scalaire, en construire à base de l'intégrale du produit est assez courant sur les espaces fonctionnels. Les bornes, par compte, dépendent de la nature des fonctions (sont-elles dans <math>\(L_1\)</math>, <math>\(L_2\)</math>, périodique ...), ont ne peux pas prendre une intégrale sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> si les fonctions n'est pas de carré intégrable.
Ici, j'ai intégré sur une période parce que toute l'info contenu dans une fonction périodique est contenu dans une période, et puis ça ressemblait aux formules qui t'avait été données.
Après, pour illustrer le fait que l'on aurait pu choisir autre chose, on aurait très bien pu choisir de multiplier l'intégrale par <math>\(\frac{2}{T}\)</math>, et ce "nouveau" produit scalaire aurait eu l'avantage de rendre la base normée, et on aurait pas eu besoin de diviser par les normes dans dans la formule de la projection (on constate heureusement qu'on arrive quand même au même résultat ^^).

Du coup, si on considère la fonction g sur des intervalles, on fait donc varier le n ? Si ça te gêne pas, tu pourrais donner un exemple de calcul sur un intervalle ?