salut, le problème est le suivant.
on souhaite calculer la limite suivante : <math>\(\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{n} (\sin\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}\)</math>

je suis arrivé à transformer la limite en celle ci mais je pense que ça ne mène à rien :
<math>\(\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{n}\exp(\frac{1}{n}\ln sin\frac{1}{n})\)</math>
un indice ?

Tu connais les développements limités ?

Commence par le commencement...

<math>\(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x}=\)</math> ?

PS : tu fais tendre x, mais il n'apparaît pas dans ton expression.

@rom1504, je ne connais pas le développement limité
@Manuu en faisant tendre x comme tu dis, j'obtiendrai une forme indeterminée

Non, ça fait 0.

Après tu composes par le sinus etc.

quand <math>\(n \to +\infty, \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow \sin(\frac{1}{n}) \to 0 \Rightarrow \ln(sin\frac{1}{n}) \to -\infty\)</math>
et là ?

Edit : utilise les croissances comparées, tu devrais t'en sortir.

pour ceux que je connais (principalement les 4 premiers ici,
je n'en vois aucune !!!

La troisième.

euh, ici on a <math>\(n \to +\infty\)</math> donc ça serait pas plutot la 4ème ?
de tte façon on doit trouver la forme <math>\(x \ln x\)</math> ou bien <math>\(x\ln\frac{1}{x}\)</math>, ici il n'y en a pas !!(à cause du sinus) non?

<math>\(\frac{1}{x}\)</math> tend vers 0, et c'est la même chose pour <math>\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)</math> donc tu peux utiliser la relation. Mais de toute manière les formules 3 et 4 sont identiques à un changement de variable près, donc que tu utilises l'une ou l'autre tu arriveras au même résultat. Donc j'avais quand même raison quand dans un premier temps je te conseillais d'utiliser la quatrième relation.

PS : on s'en fout que ça soit <math>\(x\)</math>, <math>\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)</math> ou que sais-je encore, mais il faut que ça tende vers 0.

non il faut que ça soit le meme <math>\(x\)</math>

Tu pourrais peut-être utiliser le fait que le sinus soit plus petit que 1, tout en étant plus grand que -1 ?

Citation : Manuu

<math>\(\frac{1}{x}\)</math> tend vers 0, et c'est la même chose pour <math>\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)</math> donc tu peux utiliser la relation. Mais de toute manière les formules 3 et 4 sont identiques à un changement de variable près, donc que tu utilises l'une ou l'autre tu arriveras au même résultat. Donc j'avais quand même raison quand dans un premier temps je te conseillais d'utiliser la quatrième relation.

PS : on s'en fout que ça soit <math>\(x\)</math>, <math>\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)</math> ou que sais-je encore, mais il faut que ça tende vers 0.

Donc d'après ton théorème de changement de variable génial <math>\(\underset{x\to 0}{X(x)\ln(x)\to 0}\)</math> du moment que <math>\(X(x)\to 0\)</math>, donc par exemple : <math>\(X=\frac{1}{ln(x)}\)</math>, par unicité de la limite j'en déduis que 1=0...

Salut ZeRa,

Pour résoudre ton problème en utilisant tes résultats de croissances comparées, tu peux prouver le fait que <math>\(sin(x) \leqslant x\)</math> pour <math>\(x \geqslant 0\)</math> (une petite étude de la fonction <math>\(x \mapsto x-sin(x)\)</math> te permettra de démontrer ça aisément). Ensuite la fonction <math>\(ln\)</math> est croissante, donc l'inégalité est toujours valable en lui appliquant cette fonction (pour <math>\(x \in ]0, \pi[\)</math> bien-sûr !) et ensuite, le théorème des gendarmes pour conclure... une fois ceci obtenu, ta limite tombe toute crue .

Par contre, en effet, <math>\(n \rightarrow +\infty\)</math> mais <math>\(\dfrac{1}{n} \rightarrow 0\)</math> donc c'est bien la troisième formule de croissances comparées de Wikipédia qu'il faudra utiliser

Bonjours je me demandait juste pourquoi vous utilisiez des méthodes compliqués aux noms barbares (pour moi du moin ) alors que vous cherchez la limite d'un produit dont l'un des membres tend vers 0 (1/n) ? Et aussi pourquoi tu fait tendre x vers +l'infini alors que x n'apparait pas dans ton expression ?

Est-ce légitime ou juste "retourne à tes limites de polynomes et laisse les grand travailler "

Le fait qu'un des membres du produit tende vers 0 ne veut dire dire en général : par exemple (1/n)n tend vers 1, (1/n)n² tend vers + infini.
Par contre oui pour le x il veut dire n ( c'est n qui tend vers + infini )

Oui mais ici on avait 1/n fois un terme borné, donc il est vrai qu'il n'y avait pas besoin de compliquer les choses.

Ah oui il suffit de dire que <math>\(|\sin\frac{1}{n}|\leq 1\)</math>
Donc <math>\(|(\sin\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}| \leq 1\)</math>
Et là comme <math>\(\frac{1}{n}\)</math> tends vers 0, on a donc le produit d'une suite qui tend vers 0 fois une suite bornée, et donc la limite est 0.

Ok merci pour ces précisions