Tu n'es pas convaincu, car quand tu penses 'continuité', tu penses 'ouvert'. Ce n'est pas une mauvaise chose, mais les ouverts peuvent parfois avoir une drôle de tête.

La définition générale topologique de la continuité est : <math>\(f\)</math> définie sur <math>\(E\)</math> est dite continue en <math>\(a\in E\)</math> si <math>\(\forall W \in \mathcal V (f(a)),\exists V \in \mathcal V a, f(V) \subset W\)</math>.
(Où <math>\(\mathcal V(x)\)</math> est l'ensemble des voisinages de <math>\(x\)</math>.)

Dans notre cas, la topologie classique de <math>\(\mathbb R\)</math> restreinte à <math>\(\{1\}\)</math> ou à <math>\(\{0\}\)</math> donne la topologie discrète (ou grossière, ici c'est la même).
Si on prend notre fonction <math>\(f : \{1\} \rightarrow \{0\}\)</math>, quelque soit le voisinage de 0 choisi (il n'y en a qu'un, <math>\(\{0\}\)</math>, qui est bien un voisinage car il contient l'ouvert <math>\(\{0\}\)</math> dont 0 est élément), il existe le voisinage <math>\(\{1\}\)</math> de 1 (c'en est un pour les même raisons) qui fait que toute image d'un élément de <math>\(\{1\}\)</math> (il n'y a que 1) par <math>\(f\)</math> est dans le voisinage choisi <math>\(\{0\}\)</math> de 0.

Ceci montre la continuité de <math>\(f\)</math> de <math>\(\{1\}\)</math> dans <math>\(\{0\}\)</math> pour la topologique classique de <math>\(\mathbb R\)</math> restreinte.

Salut !
Je viens de m'apercevoir d'une petite remarque en jetant un coup d’œil à mon cours de limite :
En fait, à force de calculer beaucoup de limites directement, on oublie (ou bien seulement moi) qu'avant de parler de limite en un point a, il convient d'abord de voir si la fonction admet une limite à gauche et à droite du point a !
Ce qui est impossible dans le cas d'un intervalle réduit à un point comme notre cas,et par conséquent il est impossible de parler de continuité !

Tu as lu la réponse de Pierre ? Il t'explique ce qu'est réellement la continuité, et ça implique que toute fonction définie en un seul point est continue !

La notion de limite à gauche et limite à droite n'est pas profondément liée à la notion de continuité, c'est seulement une caractérisation qui s'applique dans le cas particulier où un point admet un intervalle ouvert (dans le sens ]a,b[) comme voisinage.

Citation : -rochdi-

Ce qui est impossible dans le cas d'un intervalle réduit à un point comme notre cas,

Donne-nous ta définition de la limite à gauche par exemple.

Excusez moi, mais je voudrais tout de même bien comprendre les choses...
Quand on parle de limite à gauche par exemple, il s'agit de la valeurs à laquelle tend f(x) au voisinage de a .(le voisinage qui est ]a-delta,a+delta[
d'après la définition de la limite en a !
Alors dans le cas d'un intervalle réduit à un point , il y a exactement 1 point,pas de voisinage...pas de limite à gauche.
Pour tout epsilon plus grand que zéro il existe au moins un delta plus grand que zéro tel que si |x - a| est plus grand que zéro et plus petit que delta alors |f(x) - L| est plus petit qu'epsilon.

Delta est strictement positif..donc l'intervalle ]a-delta;a+delta[ ne peut pas être réduit à un seul point.

Ta définition de la limite de <math>\(f\)</math> (définie sur <math>\(D_f\)</math>)à gauche de <math>\(a\in D_f\)</math> doit ressembler à ça :
<math>\(\forall \varepsilon >0, \exists \eta>0,\text{ tel que }\forall x\in D_f, x<a, (|x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon)\)</math>

Dans le cas où <math>\(D_f = \{a\}\)</math> l'ensemble des <math>\(x\in D_f,\ x<a\)</math> est l'ensemble vide et comme l'a déjà rappelé cbasile06 dans un précédent post, toutes les proposition <math>\(P(x)\)</math> sont vraies pour <math>\(x\in\emptyset\)</math>, en particulier, <math>\((|x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon)\)</math> est vraie pour <math>\(x\in\emptyset\)</math>.

Même raisonnement pour la limite à droite. Les limites à droite et à gauche existent donc dans le cas où la fonction est définie sur un seul point.

Peu importe que ça soit vrai ou pas pour x.
<math>\(\epsilon\)</math> doit être strictement positif alors que dans le cas ou une fonction est définie sur un seul point, il est égal à 0.
je me trompe ?
Merci pour votre patience

Tu te trompes oui

C'est nous qui fixons le <math>\(\varepsilon\)</math> comme on veut (mais strictement positif) et sans tenir compte de l'ensemble de définition (je ne vois pas où se situe le problème de prendre un ensemble de définition réduit à un point : <math>\(\{a\} \subset ]a-\eta ; a+\eta[\)</math> et <math>\(\{f(a)\} \subset ]f(a)-\varepsilon ; f(a)+\varepsilon[\)</math> quelle que soit <math>\(\varepsilon>0\)</math> et <math>\(\eta>0\)</math>)

Oui, mais <math>\(]a-\epsilon;a+\epsilon[\)</math> n'appartient pas à Df.

Pourquoi faudrait-il que ce soit le cas ? (remarque au passage, j'avais fait une petite inversion entre <math>\(\varepsilon\)</math> et <math>\(\eta\)</math> dans mes précédents post que je viens de corriger)

J'avais remarqué
Quand on parle de limite en a c'est que la fonction doit être défini aux point appartenant à <math>\(]a-\epsilon;a+\epsilon[\)</math>
Plus epsilon est petit, plus leurs valeurs s'approche de la lim de a.

C'est là que c'est faux, la fonction ne doit pas forcement être définie sur tout cet intervalle.

Dans mon cours c'était le cas.
D'autre part, si elle n'est pas définie, elle ne prend alors aucune valeur au voisinage du point a .

si, sa valeur en <math>\(a\)</math> : <math>\(f(a)\)</math>.

Je parle du voisinage de a.
par ex (a-0.00000001) n'a pas de valeur.
Si je ne me trompe lim quand x tend vers a existe si lim à gauche est égale à lim à droite (donc au voisinage)

<math>\(a\)</math> appartient au voisinage de <math>\(a\)</math>, la notion de voisinage est parfaitement définie en mathématiques. Que <math>\(f\)</math> n'existe pas en <math>\(a-0.00000001\)</math> n'a pas d'importance tant qu'elle est définie en <math>\(a\)</math>.

Et avec la définition de la limite à gauche et à droite, une fonction définie en un seul point en possède en ce point (c'est ce que j'ai expliqué dans un de mes précédents posts)

Edit : j'ai juste envie de faire remarquer que même si on regarde la notion intuitive de la continuité introduite quand on aborde la notion au lycée qui consiste à dire : "on peut tracer la courbe représentative de la fonction sans lever le crayon", la courbe représentative d'une fonction définie en une seule valeur (c'est donc juste un point) peut se tracer sans lever le crayon

Bien sur qu'elle appartient mais quand on calcule une limite en réalité c'est le calcul des valeurs que prennent les point appartenant au voisinage de a et qui diffère de a si tu veux ^^"
Par ex pour la lim quand x tend vers 0 de 1/x .

La définition de la limite d'une fonction en un point où celle-ci n'est pas définie est une autre histoire.

Wiki "C'est cette définition de limite d'une fonction qui est désormais en vigueur en France (programmes - plus ou moins précis - régulièrement publiés au Bulletin officiel) dans l'enseignement secondaire et les classes préparatoires [archive]"

C'est peut-être le problème !

Non rushia, la notion de limite en un point (à gauche, à droite, ou bilatérale) ne prend pas en compte la valeur que prend la fonction en ce point, seulement ce qu'il y a autour. la fonction <math>\(f: \mathbb R \to \mathbb R\)</math> définie par <math>\(\forall x \in \mathbb R^*,f(x) = 0, f(0) = 1\)</math> a pour limite 0 à gauche et à droite en 1. Donc il n'y a pas de notion de limite à gauche ou à droite si la fonction n'est définie qu'en un point.

Mais comme je l'ai dit plus haut, on n'a pas besoin de cette notion pour parler de continuité, ce n'est qu'une caractérisation dans des cas particuliers.

revan.
pour parler de continuité on parle de limite non ?(dans mon cours de terminale)

La définition sur cette page est en accord avec ce que je dis depuis le début.

Si on cite la première note de cette même page, on trouve :

Citation : wiki

<math>\(f\)</math> est dite définie au voisinage de <math>\(p\)</math> si <math>\(p\)</math> est adhérent au domaine de définition <math>\(U\)</math> de <math>\(f\)</math>, c'est-à-dire si tout voisinage de <math>\(p\)</math> contient au moins un point où <math>\(f\)</math> est définie, ou encore s'il existe une suite <math>\((x_n)_{n\in \mathbb N}\)</math> de réels convergeant vers <math>\(p\)</math> telle que <math>\(f(x_n)\)</math> soit défini pour tout <math>\(n\)</math>.

Si la fonction <math>\(f\)</math> n'est définie qu'en <math>\(a\)</math>, et comme <math>\(a\)</math> appartient à tous les voisinages de <math>\(a\)</math>, <math>\(f\)</math> est définie au voisinage de <math>\(a\)</math>. Et en prenant la suite définie pour tout <math>\(n\)</math> par <math>\(x_n = a\)</math>, alors <math>\(f(x_n)=f(a)\)</math> est définie pour tout <math>\(n\)</math>


@revan : je n'ai jamais dit que "la notion de limite en un point (à gauche, à droite, ou bilatérale)" prenait "en compte la valeur que prend la fonction en ce point", j'ai simplement dit que si la fonction n'est définie que en <math>\(a\)</math>, il n'y a pas de points autour et que donc la proposition <math>\(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\)</math> est vrai pour tout <math>\(x\)</math> dans <math>\(D_f\)</math> tel que <math>\(0<|x-a|<\eta\)</math> car l'ensemble de ces <math>\(x\)</math> est l'ensemble vide. C'est un cas dégénéré et on pourrait même mettre n'importe quelle valeur pour cette "limite" donc ça ne veux en effet pas dire grand chose, mais ça colle aux définitions. Et je suis d'accord, l'utilisation de la notion de limites n'est qu'une caractérisation pas les cas simples non pathologiques.

"Et avec la définition de la limite à gauche et à droite, une fonction définie en un seul point en possède en ce point"
"la notion de limite en un point (à gauche, à droite, ou bilatérale)" prenait "en compte la valeur que prend la fonction en ce point"
C'est un peu la même chose...

P.S: J'avais cité Wiki car j'étudie au Maroc... mais en fin de compte le Maroc suit le système français.

Certes, je corrigeais ta phrase « avec la définition de la limite à gauche et à droite, une fonction définie en un seul point en possède en ce point » Si elle est définie en un seul point il n'y a pas de limite à gauche ou à droite.
-rochdi-, la notion de limite permet de parler de continuité dans les cas que tu étudies, mais cette notion s'étend de manière beaucoup plus général. En particulier, les fonctions définies en un seul point n'entrent pas dans le cadre de ce que tu étudies et tu ne peux donc pas utiliser les même outils.

C'est vrai que la phrase est très mal formulée

Je vois,revan.
En tout cas, cette discussion a été enrichissante pour moi et m'a permis de préciser les notions que j'avais...
Merci à tous !