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Maitrise des bases de probabilité.

Loi de probabilité d'une variable discrète

    26 décembre 2019 à 18:10:49

    Cher collègue bonjour.

    J'ai une préoccupation sur la résolution de l'exerce P(X=k) obtenir un nombre pair lors de trois lancés d'un dé sur support de v.a [0;3].

    l’enseignant dit la P(X=0) = 1/2*1/2*1/2 = 1/2^3. Comment il a obtenu pour P(X=1) 3/2^3 et P(X=2) 2^3 ?

    Je n'arrive pas à comprendre les calculs qu'il a effectué.

    Merci pour vos éclaircissement.

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      27 décembre 2019 à 9:27:01

      Pour simplifier les choses, dis-toi que tu as à chaque lancer un résultat pair ou impair, avec une probabilité de \(\frac{1}{2}\) chacun.

      \(P(X=0)\) : il faut que chacun des trois lancers soit impair, c'est-à-dire \([impair, impair, impair]\). Donc la probabilité est de \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{3}}\).

      \(P(X=1)\) : il y a trois façons d'obtenir un et un seul lancer pair :

      • \([pair, impair, impair]\)
      • \([impair, pair, impair]\)
      • \([impair, impair, pair]\)

      Donc la probabilité est 3 fois plus grande que dans le cas précédent, où seule la combinaison \([impair, impair, impair]\) marchait. Ca fait bien \(3\times\frac{1}{2^{3}}=\frac{3}{2^{3}}\)

      \(P(X=2)\) : il y a trois façons d'obtenir deux lancers pairs : c'est d'obtenir un seul lancer impair ! :magicien:

      • \([impair, pair, pair]\)
      • \([pair, impair, pair]\)
      • \([pair, pair, impair]\)

      Tu remarqueras que c'est symétrique au cas \(P(X=1)\), en inversant pair/impair.

      \(P(X=3)\) : il n'y a qu'une seule façon d'avoir trois lancers pairs : \([pair, pair, pair]\). Même chose que dans le cas \(P(X=0)\), en symétrique.

      -
      Edité par Zachee54 3 février 2020 à 9:37:49

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        27 décembre 2019 à 10:12:34

        Merci beaucoup Zachee pour cette réponse aussi claire comme de l'eau de roche.

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          1 février 2020 à 20:21:39

          bonsoir 

          j'ai eu le meme soucis et toujour pas compris se raisonnement de multiplier P(X=0) = 1/2*1/2*1/2 = 1/2^3.

          moi je me suis basé sur la definition de base  P(A)=card(A)/card(omega).

          j'ai definit le support de la variable aleatoire comme suivant : avec impaire comme I, et paire comme P

          omega={(I, I, I);(P,I,I);(I,P,I);(I,I,P);(P,P,I);(P,I,P);(I,P,P);(P,P,P)} elle contient 8 couple alors 8 element

          pour (X=0 ): il faut que chacun des trois lancers soit impair, on a A=(I, I, I)  ici un couple c'est un element 

          P(A)=card(A)/card(omega)= 1/8

          pour (X=1 ): : il y a trois façons d'obtenir un et un seul lancer pair : on a A ={(P,I,I);(I,P,I);(I,I,P)} on a 3 element

          P(A)=card(A)/card(omega)= 3/8.

          pour (X=2 ): il y a trois façons d'obtenir deux lancers pairs : A ={(P,P,I);(I,P,P);(P,I,P)} on a 3 element

          P(A)=card(A)/card(omega)= 3/8.

          pour (X=3): il n'y a qu'une seule façon d'avoir trois lancers pairsA=(P, P, P)  ici un couple c'est un element 

          A=(I, I, I)  ici un couple c'est un element 

          que pensez vous


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            3 février 2020 à 9:47:12

            Oui, c'est parfaitement juste.
            Tu risques seulement d'avoir du mal à appliquer cette méthode si on fait 1 000 lancers, ou \(n\) lancers.

            Le principe est de partir des probabilités d'un seul lancer. L'univers est limité à deux évenements équiprobables : \(\{pair, impair\}\). La probabilité de chacun est \(\frac{1}{2}\).

            Ensuite, on se demande ce qui se passe quand l'événement se répète.
            L'événement "obtenir 3 lancers impairs" est la conjonction de trois événements indépendants :

            • obtenir un nombre impair au 1er lancer
            • et obtenir un nombre impair au 2ème lancer
            • et obtenir un nombre impair au 3ème lancer.

            Le premier événement arrive dans la moitié des cas.
            Une fois que le premier a eu lieu, le deuxième n'arrive encore que dans la moitié des cas (la moitié de la moitié = \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\)).
            Une fois que le premier et le deuxième ont eu lieu, le troisième n'a lieu encore que dans la moitié de ces cas... donc \(\frac{1}{2^{3}}\), c'est-à-dire \(\frac{1}{8}\).

            Formellement, on applique la formule qui dit que si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(P(A\cap B) = P(A)\times P(B)\).

            -
            Edité par Zachee54 3 février 2020 à 9:49:14

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              3 février 2020 à 10:01:51

              Zachee54 oui c'est bien clair pour moi mtn, surtout pour le point si on a n lancer.

              merci pour la reponse

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              Maitrise des bases de probabilité.

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