J'ai lu l'excellent tutoriel de GeoMl17 sur les nombres complexes, et j'ai une question...
Dans son tutoriel, il représente les nombres complexes à côté de l'axe des nombres.
Est-il possible de faire de même en 3D avec d'autres nombres plus complexes ? (et pourquoi pas en 4D ?)

Note : Je suis seulement en seconde, alors si vous pouvez répondre de manière plutôt simple, ça m’arrangerait... (sinon, je me débrouillerai...)

En 3D non.
En 4D, oui, on appelle ça les quaternions.


(C'est assez simple ? )

C'est une question intéressante. Toutefois, l'axe des imaginaires purs (les nombres complexes qui n'ont qu'une partie imaginaire, par exemple 2i) n'est pas représenté à côté de l'axe des réels, mais il lui est perpendiculaire.

En réalité, si tu observes bien, tu peux constater que le plan complexe (un axe pour les nombres réels et un axe pour les imaginaires pures) est identique au plan que tu connais (avec deux axes : l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées). On peut donc identifier l'ensemble des nombres complexes à l'ensemble des paires des nombres réels (on parle plutôt de « doublets de nombres réels »).

En effet, par exemple, le doublet de réels (3, 4) est placé, dans le plan réel, au même endroit que 3+4i dans le plan complexe. Encore plus fort : l'ensemble des nombres réels décrit une droite (c'est logique : si tu prends 1 nombre réel, tu peux le placer à un endroit sur une droite). Si on veut prendre deux réels (donc un nombre complexe), il faut deux axes, et cela correspond au plan (2D, donc).

Ta question est donc très pertinente. Et, en effet, il est possible de reproduire le même raisonnement pour décrire l'espace de dimension 4 : il nous faut 4 nombres réels (1 pour chaque dimension). Il existe un ensemble de nombres, que l'on appelle ensemble des quaternions (http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion), dans lequel chaque quaternion peut-être assimilé à un point de l'espace de dimension 4.

Je ne veux pas trop m'avancer, car je ne connais pas trop le sujet, mais il existe, d'après Wikipédia, des ensembles de plus en plus « grands », décrivant des espaces de dimension toujours plus grande. En effet, l'espace de dimension n peut être décrit par… n réels, évidemment. Si on arrive à trouver une relation algébrique entre ces n réels, et que cette relation algébrique est pertinente sur le plan géométrique, alors on peut construire un ensemble de nombres qui décrit l'espace de dimension n. Néanmoins, ce que je dis est peut-être faux car je ne connais pas beaucoup le sujet, et je n'ai rien trouvé à ce sujet après quelques recherches.

Ajout —
Jcldz, tu es absolument certain que les quaternions décrivent l'espace de dimension 4 ? Wikipédia semble dire le contraire. Mais je précise à nouveau que je ne suis pas un spécialiste du domaine, donc au-delà des complexes, mes affirmations sont à étudier avec précaution.

Correctif — En fait, je me suis planté. Jcldz avait raison. J'ai corrigé mon message en conséquence.

Tout est dans le mot représenter.

En n dimensions si ça te chante.

Cela vient de ce qu'on appelle un espace vectoriel.
Si tu prend des éléments i1, i2, ..., in (appelé vecteurs), avec les lois que tu veux (i1^3 = i2/4 + 42 * i(n-6), i1 = i2^2...), tant que la propriété suivante est vérifiée:
Si il existe (a1, a2, ..., an) réels tel que a1*i1 + a2*i2 + ... + an*in = 0 alors nécessairement (a1, a2,..., an) = (0, 0, ..., 0);
Alors on dit que la famille (i1, i2, ..., in) est "libre" et que pour tout vecteur v = a1*i1 + a2*i2 + ... + an*in on appelle (a1, a2, ..., an) les coordonnées de v dans (i1, ..., in). Tout vecteur est parfaitement déterminé par ses coordonnées si l'on se fixe une "base" (i1, ..., in) où on peut travailler.

Le repère (i, j, k) (mais des flèches dessus si tu préfère) de l'espace en est un exemple, on ne peut trouver a1, a2, a3 réels non nuls tel que a1*i + a2*j + a3*k = 0 (vecteur nul).
Donc tu peux dessiner ton repère sur ton tableau et repérer les éléments que tu as à partir des 3 coordonnées. Mais si tu trouve trois autres vecteurs non coplanaires, tu peux changer de base et faire la même chose.

Si tu t'amuse à définir un certain i tel que i² = -1, alors vu que (1, i) est libre, tu peux identifier tout point à une abscisse et une ordonnée, tant que tu dessine ta base: mais comme tu peux le constater, sur les schéma il gradue un axe en lui donnant une unité 1 (qui fait quelque centimètre, mais tu peux prendre un mètre c'est arbitraire), l'autre en lui donnant l'unité i, mais qu'est-ce? pour quoi ce serait une case vers le haut? La réponse est pourquoi pas?
En fait la base (i, j) de ton plan, tu l'as définis de la même façon. Tu ne dessine les points qu'à partir de leur coordonnée, qui ne sont définit que si tu te fixe (i, j), et que si i et j ne sont pas colinéaire (càd (i, j) est "libre").

Vu que (i, j) (base de ton plan) et (1, i) (le i complexe ici) ont les mêmes propriétés, si tu sais dessiner un point dans le premier, il suffit, si tu veux te le représenter, que tu dessines a+b*i aux coordonnées (a,b).
Après se représenter les coordonnées de points en dimension 1 et 2 c'est facile, en dimension 3 c'est plus compliqué, 4 et +, faut être inspiré.

Pwd

Citation : Jcldz

En 3D non.

Ah ? Une extension de corps d'ordre 3 me semble adapté, par exemple <math>\(\mathbb Q [^3\sqrt 2]\)</math>.

Sinon <math>\(\mathbb{R}^3\)</math> ça marche aussi pour représenter les points en dimension 3

Vu la tournure de la question, je pense que le posteur demandait un corps dont la représentation peut de faire en dimension 3.

Les nombres dont tu parles existent, ce sont les quaternions, découverts par Hamilton. Il cherchait justement à étendre les nombres complexes à la 3ème dimension, en étudiant des nombres de la forme a+ib+jc. Pour une raison que j'ignore, cette démarche n'a pas abouti (il y a il me semble un théorème qui dit qu'il est impossible de construire une algèbre cohérente avec des nombres à 2 parties imaginaires).
Il a alors l'idée de prendre des nombres à 3 parties imaginaires de la forme a+ib+jc+kd, et là ca a marché, il a pu construire toute une algèbre dans cet ensemble (addition, multiplication,...).
Pour info historique, ce sont ces nombres qui ont donné les vecteurs (en 3D), en prenant tout simplement un quaternion sans partie réelle (donc de la forme ib+jc+kd). En multipliant deux de ces nombres, tu obtiens un quaternion a'+ib'+jc'+kd': a' est ce qu'on appelle maintenant le produit scalaire et ib'+jc'+kd' est un vecteur qui est le produit vectoriel des deux vecteurs que tu as multipliés (ce sont des notions que tu vois en seconde je crois)
C'est pour ca aussi que le repère en 3D est parfois noté (O,i,j,k) au lieu de (O,x,y,z)

Citation : hazdrubal

le produit vectoriel des deux vecteurs que tu as multipliés (ce sont des notions que tu vois en seconde je crois)

Pas en seconde

Le produit vectoriel c'est qu'à partir de la sup

Citation : will_179

Le produit vectoriel c'est qu'à partir de la sup

Ah ok. En fait moi je l'avais vu en Terminale (en 1997). Faudra que je regarde les nouveaux programmes de lycée.

Et bien en fait je l'ai vu en terminale également, mais ce n'était que dans le programme de SI. Et encore, ce n'était seulement que dans le cas du bras de levier !

Citation : hazdrubal

le produit vectoriel des deux vecteurs que tu as multipliés (ce sont des notions que tu vois en seconde je crois)

Pas en seconde...

En gros, c'est ça : (si j'ai bien compris...)



Sinon, je vous remercie d'avoir répondu à ma question.
Je pense que je verrais tout ceci plus en détail probablement plus tard...

Citation : will_179

Et bien en fait je l'ai vu en terminale également, mais ce n'était que dans le programme de SI. Et encore, ce n'était seulement que dans le cas du bras de levier !

Non c'est bien en programme de mathématiques de Terminale avec le produit scalaire (il n'y a que le produit mixte qui n'est pas abordé je crois).
De toute façon en dimension 3 le produit vectoriel n'a rien de bien sorcier.

De mémoire pour visualiser des nombres « complexes » en 3D, on peut utiliser les quaternions et les projeter en dimension 3, c'est ce qui a été fait pour avoir des fractales de dimension 3 je crois.

En spécialité alors ? Parce que je n'ai pas souvenir de l'avoir fait en terminale !

J'ai suivi l'enseignement de spé maths en terminale S (l'an dernier), et je ne me souviens pas avoir parlé du produit vectoriel en maths. Mais il se peut que les programmes aient changé entre l'année 2009-2010 et 2010-2011.

Citation : souls killer

J'ai suivi l'enseignement de spé maths en terminale S (l'an dernier), et je ne me souviens pas avoir parlé du produit vectoriel en maths. Mais il se peut que les programmes aient changé entre l'année 2009-2010 et 2010-2011.

C'est peut être ma prof qui en a parlé pour le plaisir (oui certains profs aiment bien le hors programme de temps en temps).
Je suis bachelier de la session 2009 je précise…

Pour ajouté ma petite contribution, je suis en 1° S SI et on a vu le produit vectoriel en Méca vers le début de l'année (on a vu le "bras de levier", mais aussi le calcul avec le sinus et celui avec les composantes)... Sinon je pense qu'on ne le voit que dans cette matière (car on en a vraiment besoin pour tout en Méca je trouve...)

Le produit scalaire fait partie du programme de seconde, le vectoriel du programme de première scientifique.

Le but des quaternions était surtout de créer un exemple raisonnable de corps non-commutatif.

Je ne pense pas que c'était le but: Hamilton a uniquement voulu étendre les nombres complexes à la 3eme dimension. Il s'est ensuite aperçu que l'ensemble qu'il avait créé etait non-commutatif, ce n'était pas voulu dès le départ.

Juste une question... <math>\(\mathbb{C}\)</math> est isomorphe à <math>\(\mathbb{R}\mathcal{SO}_2(\mathbb{R})\)</math> (l'ensemble des matrices réelles de la forme <math>\(\begin{pmatrix}a & -b\\b & a\end{pmatrix}\)</math>).
Est-ce que votre ensemble des quaternions est isomorphe à <math>\(\mathbb{R}\mathcal{SO}_3(\mathbb{R})\)</math> (l'ensemble des matrices réelles de la forme <math>\(\begin{pmatrix}a & -b & 0\\b & a & 0\\0 & 0 & c\end{pmatrix}\)</math>)?

"RSO3(R)" est isomorphe à R^3 et l'espace vectoriel des quaternions est isomorphe à R^4

D'accord, mais je parlais d'isomorphisme de corps, et non d'espaces vectoriels...

@HousseinIgueKadar Bonjour, merci de ne pas déterrer d'ancien sujet résolu.

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