Je ne suis pas un expert, vu que je viens de découvrir la page, mais globalement c'est une généralisation des nombres complexes, de la même manière que les nombres complexes sont une généralisation des nombres réels.
Pour créer les nombres complexes, on a inventé i, on a dit que i² = -1 puis ensuite on a dit qu'un nombre complexe c'était de la forme a + bi.
Ici pour les nombres bicomplexes on a i1, i2 et j, on a que i1² = i2² = -1, que j = i1 * i2 = 1, et les autres multiplications telles que décrites dans le tableau de l'article https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_bicomplexe. On dit ensuite qu'un nombre bicomplexe est de la forme a + bi1 + ci2 + dj.
À quoi ils servent, aucune idée.
Une principale différence entre les nombres complexes et les nombres bicomplexes, c'est que les nombres complexes sont de dimension 2 (partie réelle, partie imaginaire), donc on peut les représenter facilement dans un plan, sur une image. Les nombres bicomplexes sont de dimension 4 (partie réelle, partie i1, i2 et j), donc l'ensemble des nombres bicomplexes est de dimension 4. Si on voulait vraiment représenter l'équivalent de l'ensemble de Mandelbrot (le tétrabrot), il faudrait une image de dimension 4...
Comme c'est impossible, on représente une "tranche" du tétrabrot en fixant une des dimensions (par exemple, on ne regarde que les nombres telle que leur partie j est 0) : ça nous donne un ensemble en 3D.
on peut trancher le tetrabrot de plusieurs façons différentes, par exemple si on prend des tranches de proche en proche (un peu comme on découpe du jambon en tranche), on peut même animer le résultat :
C'est assez rigolo, parce que ça rappelle un peu la forme des cristaux de bismuth. Coïncidence ? Probablement.
Après, 3D ça reste compliqué à gérer, donc on peut là aussi prendre une tranche de cette 3D (par exemple, en ne considérant que les nombres pour lesquels i2 = 42), et boum, on arrive à une image de dimension 2. Celle de Wikipédia est un peu étrange, je ne sais pas trop comment ils s'y sont pris.
Merci beaucoup (pour ta réponse et m'avoir parlé des cristaux de bismuth )! Si je veux faire seulement en 3D, peut-être pourrais-je considérer que j = i*i2 = 1.
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En me relisant, je vois que j'ai grandement manqué de rigueur. Il ne faut pas dire "tranche à j=42" parce que j ne peut pas valoir 42 (puisque c'est un nombre bicomplexe sans partie réelle), mais quand on regarde le nombre à + bi1 + ci2 + dj, la tranche se fait à d=42.
J'imagine que tu avais compris mais je préfère être exact.
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