Bonsoir,
Depuis que j'ai fait une terminale S, j'ai tendance à vouloir tout comprendre sur les outils que j'utilise en maths, et j'avoue que parfois, il ya des "trucs" que je ne comprend pas, d'où ça vient.
Ma première question se fait par rapport aux fonctions trigonométriques. Premièrement historiquement elles viennent d'où ? Comment ont-elles été définies ?
Après je ne comprend pas vraiment pourquoi la tangent par rapport au cercle trigonométrique est la tangente au cercle unité en 2pi.
Seconde question : la fonction logarithme et sa réciproque. Comment Neper, s'est douté que la primitive de 1/x était quelque chose d'important, et d'où vient ln(a*b) = ln a + ln b. Comment est venue la notation d'exponentielle comme étant un nombre élevé à une puissance ? Pourquoi pour ln ce n'est pas le même cas ? Comment a-t-on trouvé les propriétés de la fonction exponentielle ?
Enfin, ayant vu les développements limités il y a peu, il y a quelque chose que je ne comprend pas. Comment les mathématiciens ont-ils démontrés que toutes fonctions respectant certaines conditions admettaient un développement limité ? Ca sort d'où ? Car selon mon prof ce fut seulement une intuition à partir de la définition de la formule de dérivabilité : on a vu que la fonction était une polynôme de degré 1 plus un reste... donc ça doit fonctionner avec un polynôme de degré n. Mais ça a été démontré ? Il existe la formule de Taylor Young mais elle fonctionne qu'à partir de la dérivé ? Cette formule est la preuve ?
Pour les fonctions logarithme et exponentielle, les mathématiciens voulaient juste des fonctions répondant a certains critères, notamment pour la physique et la chimie.
Mais pour la tangente... Aucune idée.
Après je ne comprend pas vraiment pourquoi la tangent par rapport au cercle trigonométrique est la tangente au cercle unité en 2pi.
Si j'ai bien compris ta question, cela vient de la définition de la tangente comme le rapport du côté opposé sur le côté adjacent (ce dernier valant 1 sur le cercle trigonométrique).
Citation : Catsoulet
Seconde question : la fonction logarithme et sa réciproque. Comment Neper, s'est douté que la primitive de 1/x était quelque chose d'important, et d'où vient ln(a*b) = ln a + ln b. Comment est venue la notation d'exponentielle comme étant un nombre élevé à une puissance ? Pourquoi pour ln ce n'est pas le même cas ? Comment a-t-on trouvé les propriétés de la fonction exponentielle ?
Tout d'abord il me semble que le logarithme népérien n'est pas dû à Neper, mais que c'est un nom qui été donné en son hommage compte tenu des travaux qu'il a réalisé sur d'autres logarithmes. Ensuite, je n'en suis toujours pas sûr, mais il me semble que le ln avait été établi pour exprimer l'aire sous l'hyperbole équilatère, puis l'on a remarqué qu'elle transformait les produits en sommes, propriété qui caractérisait les fonctions "logarithmique". La notation de l'exponentielle est due au caractère remarquable du nombre e et à la propriété de exp de transformer une somme en produit, la notation coïncidant alors avec la notation des puissances. Pour le logarithme népérien, on ne trouve pas vraiment d'écriture jouant sur sa capacité à transformer les produits en somme. Et à ta dernière question, "Comment a-t-on trouvé les propriétés de la fonction exponentielle ?", j'ai envie de répondre : en cherchant, comme toutes les autres propriétés mathématiques
Citation : Catsoulet
Enfin, ayant vu les développements limités il y a peu, il y a quelque chose que je ne comprend pas. Comment les mathématiciens ont-ils démontrés que toutes fonctions respectant certaines conditions admettaient un développement limité ? Ca sort d'où ? Car selon mon prof ce fut seulement une intuition à partir de la définition de la formule de dérivabilité : on a vu que la fonction était une polynôme de degré 1 plus un reste... donc ça doit fonctionner avec un polynôme de degré n. Mais ça a été démontré ? Il existe la formule de Taylor Young mais elle fonctionne qu'à partir de la dérivé ? Cette formule est la preuve ?
Il a été établi que le nombre dérivé f'(x0) correspond au coefficient de la tangente à la courbe représentative de f en x0. On peut donc considérer que pour des x très proches de x0, l'écart entre la courbe et la tangente est très faible (reste du DL de f en x0 à l'ordre 1). Je ne comprends pas ta question de savoir si ça été démontré. Tu y réponds toi-même ensuite. La formule de Taylor-Young est la démonstration que l'on peut généraliser le procédé à l'ordre n.
Voilà, je n'ai pas répondu à tout, et je ne suis pas sûr à 100% de mes affirmations, mais j'espère t'avoir un peu aidé.
Premièrement, Wikipedia est très bien pour tout ce qui est histoire des maths ou démonstrations de théorèmes majeurs.
Pour ce qui est de la magie "Omagad comment ils ont pensé à inventer ça", dis toi que :
1) Ils étaient loin de ne rien savoir avant, ils faisaient par exemple beaucoup plus de géométrie que nous et ça permet souvent de voir certaines choses. Par exemple, la relation intégrale/primitive a été trouvée à force de manipuler les deux notions.
2) Ils étaient souvent physiciens ET mathématiciens en même temps (Et un peu tout d'ailleurs :p). Les découvertes mathématiques ont souvent pour but de mieux modéliser la physique.
Bref, ils avaient une vue d'ensemble de tout ce qui se faisait, c'est aussi comme ça qu'ils pouvaient avoir l'idée de construire quelque chose d'intéressant.
En tout cas ce qui est sur, c'est que tout ce que tu cites se démontre très proprement, ça fait même peur quand tu dis que c'est démontré "au feeling" par tes profs
Pour ce que est du couple exp/ln, il y a (au moins) 3 méthodes de les présenter à l'école :
-La fonction qui est égale à sa dérivée => Sa fonction réciproque
-La fonction qui vérifie f(ab)=f(a)+f(b) => Sa fonction réciproque
-La série (somme infinie) <math>\(\sum(x^n/n!)\)</math>. Cette troisième méthode est particulièrement jolie : on remarque que ça marche aussi bien dans les complexes (donc <math>\(\sum(z^n/n!)\)</math>, on définit cos et sin comme la partie réelle et imaginaire de cette fonction exponentielle complexe, on remarque que nécessairement cos et sin doivent s'annuler, on appelle Pi la valeur correspondant à la première annulation de sinus, on montre que les deux fonctions sont 2Pi périodiques.
On défini ensuite les fonctions ch sh cos sin complexes au passage (<math>\(cos(ia)=ch(a),sin(ia)=i*sh(b)\)</math>). Bref, tout tombe d'un seul coup
Pour ce qui est des développements limités, les différentes versions du théorème de Taylor sont en effet la base de toute idée de développement limité.
Pour ce que est du couple exp/ln, il y a 3 méthodes de les présenter :
-La fonction qui est égale à sa dérivée => Sa fonction réciproque
-La fonction qui vérifie f(ab)=f(a)+f(b) => Sa fonction réciproque
-La série (somme infinie) <math>\(\sum(x^n/n!)\)</math>. Cette troisième méthode est particulièrement jolie : on remarque que ça marche aussi bien dans les complexes (donc <math>\(\sum(z^n/n!)\)</math>, on définit cos et sin comme la partie réelle et imaginaire de cette fonction exponentielle complexe, on remarque que nécessairement cos et sin doivent s'annuler, on appelle Pi la valeur correspondant à la première annulation de sinus, on montre que les deux fonctions sont 2Pi périodiques.
On défini ensuite les fonctions ch sh cos sin complexes au passage (<math>\(cos(ia)=ch(a),sin(ia)=i*sh(b)\)</math>). Bref, tout tombe d'un seul coup
Sûrement plus de trois même. Il y a aussi la considération de ln comme la primitive de 1/x s'annulant en 1. <math>\(ln(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt\)</math>
2) Ils étaient souvent physiciens ET mathématiciens en même temps (Et un peu tout d'ailleurs :p). Les découvertes mathématiques ont souvent pour but de mieux modéliser la physique.
Bref, ils avaient une vue d'ensemble de tout ce qui se faisait, c'est aussi comme ça qu'ils pouvaient avoir l'idée de construire quelque chose d'intéressant.
Tout à fait d'accord, de nouvelles découvertes mathématiques sont apparues en nombre grâce à la physique. Je pense par exemple au calcul infinitésimal, et plus généralement les différentielles. Mais ce n'est qu'un exemple parmi tant d'autres.
Pour ce qui est des fonctions circulaires par contre, nous devons la trigonométrie aux grecs qui se sont très vite intéressés à la géométrie. Ce n'est pas pour rien que les premiers théorèmes de géométrie enseignés en collège sont ceux de Thalès et de Pythagore, et qu'on parle encore aujourd'hui de géométrie euclidienne.
Mon prof de maths, j'ai tenté vainement de le questionner pendant 5mn... il ne m'a jamais affirmé que la formule de Taylor Young était La formule qui prouvait que les DL existaient. Donc une fonctions qui ne se dérive pas en un point n'admet pas de DL en ce point ? Ni même une fonction qui ne se dérive pas indéfiniment en ce point (du style au bout de 3 fois après on ne peut plus dériver à cause de la continuité).
Je connais quelques trucs sur exp/ln , mais dans mon souvenir c'était Neper qui avait établi des tables de logarithmes.
Le nom de "tangente" est d'abord du au nom de la droite tangente à un cercle, ou bien ce fut d'abord le nom de la fonction puis comme c'était tangente au cercle alors...
Mais comment on peut dire que cette fonction est tangente au cercle unité ? Je n'arrive toujours pas à comprendre d'où ça vient.
Donc une fonctions qui ne se dérive pas en un point n'admet pas de DL en ce point ? Ni même une fonction qui ne se dérive pas indéfiniment en ce point (du style au bout de 3 fois après on ne peut plus dériver à cause de la continuité).
Je ne sais pas ce que tu sais de la formule de Taylor-Young, mais si une fonction se dérive trois fois en un point, tu peux utiliser cette formule pour donner un DL à l'ordre 3 en ce point. Ensuite, pour ce qui est des DL d'ordres 0 et 1, leur existence est équivalente à la continuité et la dérivabilité respectivement.
<math>\(f \text{ admet un DL d'ordre 0 en a}\)</math> <math>\(\Leftrightarrow f(x)=a_0+\epsilon(x)\)</math> <math>\(\Leftrightarrow f(x)\text{ a pour limite } a_0 \text{ en } a\)</math> <math>\(\Leftrightarrow f(x)\text{ est continue en } a\)</math>
<math>\(f \text{ admet un DL d'ordre 1 en a}\)</math> <math>\(\Leftrightarrow f(x)=a_0+a_1(x-a)+(x-a)\epsilon(x) \text{, f est alors prolongeable en a et } f(a)=a_0\)</math> <math>\(\Leftrightarrow \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\text{ a pour limite } a_1 \text{ en } a\)</math> <math>\(\Leftrightarrow f(x)\text{ est derivable en } a\)</math>
Concernant la question des DL, si je me souviens bien : <math>\(f \in C^{n}\)</math>=><math>\(DL_n\)</math>
La réciproque n'est pas vraie sauf pour le cas n=1 ( ie DL à l'ordre 1 et dérivable une fois sont équivalent, par définition de la dérivée on va )
Avez-vous entendu parler de Julia ? Laissez-vous tenter ...
Je ne connais pas la notation de C^n , mais je me souviens d'un truc et je peux me tromper : le faite qu'une fonction soit dérivable inclue un DL, mais une fonction admettant un DL n'est pas forcément dérivable. Par conséquent la formule de Taylor Young ne s'appliquer pas toujours... et donc elle ne prouve pas l'existence d'un DL pour ces fonctions, enfin si je ne me trompe pas;
La formule de Taylor Young s'applique aux fonctions n fois dérivables, et prouve donc que si une fonction est n fois dérivable en a, elle possède un DL à l'ordre n en a. Il existe des fonctions qui ne sont pas n fois dérivables mais qui possèdent un DL à l'ordre n, exemple <math>\(e^{-1/x^2} \chi_{\mathbb{Q}}(x)\)</math>
La définition. Faut l'écrire et la vérifier en mettant un peu les mains dans le cambouis. Enfin ici c'est facile : son DL est 0 et on voit bien que la fonction de krosian est infiniment plate en 0 !
Il n'y a aucune règle pour les DLs en des points de non différentiabilité. Du moins je n'en connais pas. Ce sont principalement des cas pathologiques. En tout cas, admettre un DL à l'ordre 1 => continuité + dérivabilité, ensuite on n'a plus rien.
Ben la c'est par définition de la fonction logarithme. On définie la fonction logarithme comme la fonction qui à tout x>0 fait correspondre y tel que e^y=x
On a donc:
e^y=x <=> y=ln x
La seconde démonstration est simple, mais elle demande d'utiliser une propriété de l'exponentielle, alors comment on démontre cette dernière ?
Tu te poses trop de question
L'exponentielle peut être définie de plusieurs manières également.
Définition 1 : <math>\(\forall z \in \mathbb{C}, e^z = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{z^k}{k!}\)</math>
C'est la limite d'une série convergente.
<math>\(e^{z_1}\times{}e^{z_2} = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{z_1^k}{k!}\times{}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{z_2^k}{k!}=\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}\)</math> <math>\(\text{avec } \forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{z_1^k}{k!}\times\frac{z_2^{n-k}}{(n-k)!}\)</math>
C'est la définition d'un produit de séries numériques.
<math>\(\text{Or on remarque que } u_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z_1^{k}z_2^{n-k}=\frac{1}{n!}(z_1+z_2)^n\)</math> <math>\(\text{Donc }e^{z_1}\times{}e^{z_2} = \sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}=e^{z1+z2}\)</math>
Définition 2 :
<math>\(\exp \text{ est la fonction qui verifie : } \begin{cases} \exp'=\exp \\ \exp(0)=1\end{cases}\)</math>
On démontre alors la chose de la manière suivante : <math>\(\text{Posons } g \text{ definie sur } \mathbb{R} \text{ par } \forall x \in \mathbb{R} \text{, } g(x)=\exp(a+b-x)\times\exp(x)\)</math> <math>\(g \text{ est derivable sur } \mathbb{R}\)</math> <math>\(\forall x \in \mathbb{R}\text{, } g'(x)=-\exp'(a+b-x)\times\exp(x)+\exp(a+b-x)\times\exp'(x)\)</math> <math>\(\text{Comme } \exp'=\exp \text{, il vient } g'(x)=0 \text{ donc g est constante}\)</math> <math>\(\text{On en deduit } g(0)=g(b) \text{ soit } \exp(a+b)=\exp(a)\times\exp(b)\)</math>
La seconde démonstration est simple, mais elle demande d'utiliser une propriété de l'exponentielle, alors comment on démontre cette dernière ?
Tu te poses trop de question
Bientôt, on vas avoir ça comme discussion:
Catsoulet: Pourquoi [...] ?
Pingloveur: ben puisque 1+1=2
Catsoulet : Mais pourquoi 1+1=2 ?
Damneth: Ben grâce au 4 axiomes
Catsoulet :Ouai, mais pourquoi avoir choisi ces axiomes?
Pingloveur: Euh... joker
Non c'est bien d'être curieux, mais faut trouver un juste milieu
Allez, je te souhaite bon courage dans ta recherche du savoir
PS: Faut comprendre que les math, il y a une part de physique. Certaine propriété, comme par exemple le théorème de fermat, sont vu "expérimentalement", puis démontré après. Tout n'est pas trouver par un enchainement de théorème.
C'est juste que la démonstration que tu as donnée, je la connaissais déjà, mais elle part des propriétés de l'exponentielle, et en terminale, pour redémontrer ces propriétés on avait aussi utilisé celle du logarithme du coup ça faisait une boucle infinie. Je préfère la démonstration qui part des intégrales, puisqu'elle fait référence directement à la définition du logarithme.
Ce qui me gênait dans l'exponentielle/logarithme c'est que pour l'un on se servait de l'autre fonction pour démontrer des choses et inversement...
La trigonométrie est née des arabes qui souhaitaient pouvoir déterminer la direction de la Mecque en connaissant uniquement les coordonnées polaires de l'endroit où l'on se trouve. Sur une sphère c'est un problème vraiment non trivial en réalité.
Ce sont, d'après mon cours d'histoire des math, les premières études de trigono connues
et en terminale, pour redémontrer ces propriétés on avait aussi utilisé celle du logarithme du coup ça faisait une boucle infinie..
Des souvenirs que j'ai de mon cours de Terminale, il me semble que l'on avait défini l'exponentielle comme la solution de y'=y et y(0)=1, puis on a démontré ses propriétés indépendamment du logarithme népérien (que l'on n'a vu qu'après de tout manière), sûrement d'une manière analogue à la deuxième méthode de mon message précédent. Mais peut-être que chaque prof à sa manière d'organiser son cours, et que certains préfèrent introduire le logarithme avant l'exponentielle.
et en terminale, pour redémontrer ces propriétés on avait aussi utilisé celle du logarithme du coup ça faisait une boucle infinie..
Des souvenirs que j'ai de mon cours de Terminale, il me semble que l'on avait défini l'exponentielle comme la solution de y'=y et y(0)=1, puis on a démontré ses propriétés indépendamment du logarithme népérien (que l'on n'a vu qu'après de tout manière), sûrement d'une manière analogue à la deuxième méthode de mon message précédent. Mais peut-être que chaque prof à sa manière d'organiser son cours, et que certains préfèrent introduire le logarithme avant l'exponentielle.
J'ai moi même vu l'exponentielle sans le logarithme On a tous démontrer, sauf l'existence, et sans le logarithme.
Dans tous les cas, en terminale, soit on admet Cauchy-Lipschitz pour montrer que l'équation différentielle y'=y, y(0)=1 admet une solution ; soit on admet que toute fonction continue à des primitives pour définir le logarithme.
Si je peux me permettre, je voudrais juste faire un commentaire sur la question du "comment on-t-ils pensé à ça".
En fait, j'en ai souvent discuté avec mes professeurs de mathématiques qui s'accordaient sur le fait de dire que ce que l'on présente aux étudiants étaient d'une grande sophistication dans le sens où on nous le présente comme si tous ces théorèmes avaient été trouvé du premier coup par des esprits de génie.
En fait, on ne parle jamais des milliers d'essais et de recherches infructueux qui se sont passés avant d'arriver à un résultat probant. En un an de MPSI par exemple, on te présentera un nombre incalculable de connaissance qui sont le fruit du travail de plusieurs années et de plusieurs hommes. Un résultat clair, précis et net.
Et aucun d'eux ne s'est levé un beau matin en disant "Tiens si j'essayais ce truc dont j'ai rêvé cette nuit". L'intuition c'est pour moi le résultat d'un tâtonnement permanent, certes frustrant, mais plus productif que de croire aux miracles.
Le nom de "tangente" est d'abord du au nom de la droite tangente à un cercle, ou bien ce fut d'abord le nom de la fonction puis comme c'était tangente au cercle alors...
Mais comment on peut dire que cette fonction est tangente au cercle unité ? Je n'arrive toujours pas à comprendre d'où ça vient.
À ce sujet, je m'étais posé exactement la même question il y a quelques temps et j'avais trouvé la réponse dans un ancien manuel de 3ème des années 60 :
On définissait alors <math>\(\tan \alpha\)</math> comme la mesure <math>\(\overline{IM'}\)</math>, <math>\(M'\)</math> étant le point d'intersection entre la tangente au cercle unité en I et la droite <math>\((OM)\)</math> (ce qui explique d'ailleurs géométriquement pourquoi la tangente n'est pas définie pour <math>\(\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \mathbb{Z}\)</math> puisque, dans ce cas, les droites <math>\((OM)\)</math> et la tangente au cercle en I sont parallèles).
Il suffit ensuite d'appliquer Thalès dans <math>\(OIM'\)</math> pour trouver : <math>\(\frac{\overline{OH}}{\overline{OI}} = \frac{\overline{HM}}{\overline{IM'}} \Leftrightarrow \overline{IM'} = \frac{\overline{HM}}{\overline{OH}} \Leftrightarrow \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)</math>
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