salut à tous!

dans mon DM de maths, on me donne cette expression :

<math>\(z^3 - (4 + i)z^2 + (7 + i)z - 4 = 0\)</math>
avec <math>\(z \in \mathbb{C}\)</math>

on trouve la racine évidente qu'est 1, puis après une autre question, on aboutit à :
<math>\(z^3 - (4 + i)z^2 + (7 + i)z - 4 = (z - 1)(z - 2 - 2i)(z - 1 + i)\)</math>

on a donc comme solutions :
<math>\(z_{1} = 1\)</math>
<math>\(z_{2} = 2 + 2i\)</math>
<math>\(z_{3} = 1 - i\)</math>

Ma question est la suivante : est-ce que cette factorisation se généralise? Est-ce que l'on peut toujours écrire ceci :
<math>\(az^3 + bz^2 + cz + d = a(z - z_{1})(z - z_{2})(z - z_{3})\)</math>

Sinon, quelle est la forme factorisée d'un polynôme de degré 3 ?

Salut,

Les polynômes à coefficients complexes (entre autres ceux à coefficients réels) de degré n admettent toujours au moins une racine dans C (on dit que C est algébriquement clos). Plus d'infos ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorè [...] de_l'algèbre

En fait, on peut même dire mieux, car ils possèdent exactement n racines dans C. Et tu peux généraliser cette factorisation au degré que tu veux, exactement comme tu l'as fait. Par ailleurs, dans un polynôme à coefficients réels, quand un polynôme admet une racine complexe, il admet aussi comme racine sa conjuguée. Ainsi, un polynôme de degré 3 à coefficients réels se "factorise" dans C, avec une racine réelle et deux complexes.

Tout polynôme non nul est scindé dans <math>\(\mathbb{C}\)</math>

Donc oui tu peux écrire ton polynôme de degré 3 sous cette forme là.

Pour un polynôme de degré n. Il faut savoir que tout polynômes de degré n admet n racines dans <math>\(\mathbb{C}\)</math> (on peut même aller plus loin en affirmant que si le n est impair, au moins une de ces racines est réel).

Bonjour,

Plus d'infos : Théorème de d'Alembert-Gauss

merci pour vos réponses

n réponses pour un coefficient n ?

donc si je comprends bien, alors que dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> on peut ne trouver aucune solution (ex du Delta négatif dans une équation du second degré), dans <math>\(\mathbbb{C}\)</math> on trouvera forcément 2 solutions quel que soit Delta?
c'est cool les complexes

C'est cela même :

Pour un polynôme à coefficients complexes (incluant donc ceux à coefficients réels, rationnels, entiers, etc.) de degré n, tu auras exactement n racines complexes (pour un polynôme non constant).

Citation : yho67

donc si je comprends bien, alors que dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> on peut ne trouver aucune solution (ex du Delta négatif dans une équation du second degré), dans <math>\(\mathbb{C}\)</math> on trouvera forcément 2 solutions quel que soit Delta?
c'est cool les complexes

Oui, d'ailleurs normalement votre prof en 1ère S vous aura fait écrire :
« Lorsque <math>\(\Delta<0\)</math>, il n'y a pas de solution réelle. »
et non :
« Lorsque <math>\(\Delta<0\)</math>, il n'y a pas de solution. »
Car il y a bien deux solutions, mais elles sont complexes.

C'est à ça que ça sert, les complexes.

Attention, un polynome de degré n n'admet pas forcément n racines distinctes, mais n racines "comptées avec leurs degrés de multiplicité".

Par exemple le polynome : <math>\(X^n\)</math> (qui est de degré n) admet une seule racine : c'est 0. Elle par contre de multiplicité n.
Autre exemple pour comprendre : le polynome <math>\((X-3)^4(X-5i)^2\)</math> (qui est de degré 4+2=6) admet deux racines : 3 de multiplicité 4 et 5i de multiplicité 2. Ainsi, si on compte les degré de multiplicité des racines, on tombe bien sur le degré du polynôme.

Et donc cela marche pour tous les polynômes à coefficient complexes si tu autorises les racines à être complexes.

Edit : après, pour trouver cette factorisation, ce n'est pas simple quand le degré est supérieur à 2. Pour des polynômes de degré 3, il y a la méthode de Cardan (que perso, je n'ai jamais eu envie d'appliquer), pour le degré 4, celle de Ferrari (que je n'ai jamais appliqué) et après pour le degré 5 ou plus, on ne pourra jamais trouver de formules qui marche pour tous les polynôme en n'utilisant que des racines carrés, cubiques ou n-ième.