Bonjour,

On sait que : <math>\((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac\)</math>
On veut montrer par récurrence que <math>\((a_1 + ... + a_n)^2 = a_1^2 + ... + a_n^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + ... + 2a_{n-1}a_n \qquad (P_n)\)</math> :

Initialisation : <math>\(a_1^2 = a_1^2\)</math> Donc <math>\((P_n)\)</math> vrai au rang <math>\(n = 1\)</math>
Hérédité : On suppose que pour un certain <math>\(n \geq 1 \\ (P_n)\)</math> est vrai. On démontre alors que <math>\((P_{n+1})\)</math> est vrai.

C'est pour <math>\((P_{n+1})\)</math> que je bloque si vous pouviez m'accompagner dans la démonstration. Merci à vous pour vos réponses.

Je dirais qu'il faut poser <math>\(A_n = a_1+a_2+\dots+a_{n-1}+a_n\)</math>.

Pour montrer <math>\((P_{n+1})\)</math> vrai, il faut alors montrer <math>\((A_n+a_{n+1})^2 = a_1^2 + \dots + a_n^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + \dots + 2a_{n-1}a_n \qquad (P_n)\)</math>.

Je pense que c'est faisable, ça commencerait ainsi :
<math>\((A_n+a_{n+1})^2 = A_n^2 + a_{n+1}^2 + 2A_na_{n+1}\)</math>

Bon courage, et en espérant t'avoir aidé.

ÉDIT : J'ai vérifié, ça marche bien et c'est pas difficile. Bonne contnuation !

<math>\((a_1 + ... + a_{n+1})^2 = (a_1 + ... + a_{n+1}) (a_1 + ... + a_{n+1})\)</math>
je pense que si tu développes à partir de là tu trouveras

Je n'arrive pas à simplifier le <math>\(2A_na_{n+1}\)</math>

Tu as <math>\(2A_na_{n+1}=2(a_1+....+a_n)a_{n+1}\)</math>.

Il te suffit tout simplement de développer cette expression pour obtenir les produits <math>\(2a_ia_{n+1}\)</math> qui manquaient dans le <math>\(A_n^2\)</math>.