Citation : elionor

Euh

Citation : caduchon

Sans perte de généralité, on peut supposer que le triangle est dans un repère orthonormé tel que <math>\(A = (0,0), B = (b,h), C = (1,0), F = (k,0), L = (1-k,0)\)</math> où b est un réel quelconque, h est un réel strictement positif et k est un réel compris entre 0 et <math>\(\frac{1}{2}\)</math>.

tu pense pas que tu as fait beaucoup de supposition ?? mais ca paraît logique, Chapeau .

Non non tout est normal. Une translation, une rotation ou un changement d'échelle ne modifie pas le problème.
Le reste ce sont des paramètres.



@Neoterranos: si les olypiades sont vaseuses, que fais-tu dans ce topic ?
Par ailleurs, je suppose que tu conseilles la méthode avec la concavité du logarithme ? Si c'est le cas, demande toi un peu l'age des outils utilisé. L'ordre chronologique des math a également son importance dans les preuves. ( Après tout, on peu démontrer Pythagore avec une intégrale hein ? )

Citation : Neoterranos

Un peu honteux d'utiliser l'inégalité de réordonnement pour cela, enfin c'est bien l'esprit vaseux des olympiades...

Il est quand même regrettable que personne dans ce fil n'ait donné une référence claire vers cette mystérieuse inégalité de réordonnancement qui je pense n'est pas connue du tout. Donc voir Inégalité de réarrangement qui donne une preuve (non triviale au passage). Pour des preuves de l'IAG, voir Inequality of arithmetic and geometric means (dont une preuve par récurrence). La preuve proposée par Typen est citée mais n'y figure pas.


Finalement, il apparait qu'on ne dispose pas d'une preuve sans aucun prérequis "consistant" de IAG, la plus abordable étant selon moi celle de Polya (sauf qu'il faut connaître l'exponentielle).

Next les gas o_0 !?.

Citation : Neoterranos

Citation : Typen

L'inégalité des moyenne arithmético-géométrique se prouve comme suit :
Soient <math>\(a_i = \frac{\prod_{j=1}^i x_j}{\left(\prod_{j = 1}^n x_j\right)^{\frac{i}{n}}}\)</math> et <math>\(b_i = \frac{1}{a_i}\)</math>.
Par l'inégalité de réordonnement, <math>\(\sum_{i = 1}^n a_ib_{i} \leq a_1b_n + a_2b_1 + a_3b_2 + \ldots + a_nb_{n-1}\)</math>.
Ou encore <math>\(n \leq \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}}\)</math>.
Dès lors <math>\(\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \leq \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\)</math>

Un peu honteux d'utiliser l'inégalité de réordonnement pour cela, enfin c'est bien l'esprit vaseux des olympiades...

On m'a demandé de démontrer <math>\(MG \leq MA\)</math> sans l'inégalité de convexité, je te mets au défis de m'en trouver une meilleure qui n'utilise pas l'inégalité de réordonnement...

Citation : elionor

Next les gas o_0 !?.

Inégalité polynomiale.

Pour tout réel <math>\(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n\)</math>, tels que <math>\(0 < m \leq \frac{a_i}{b_i} \leq M\)</math> pour tout <math>\(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\)</math>
<math>\(\frac{\left(\sum^n_{i = 1} a_i^2\right)\left(\sum^n_{i = 1} b_i^2\right)}{\left(\sum^n_{i=1}a_ib_i\right)^2} \leq \frac{(m + M)^2}{4mM}\)</math>
Il y a moyen de la résoudre sans connaissance particulière d'inégalité.

Citation : Typen

Inégalité polynomiale.

Pour tout réel <math>\(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n,\)</math> tels que <math>\(0 < m \leq \frac{a_i}{b_i} \leq M\)</math> pour tout <math>\(i \in \{1, 2, \ldots, n\} \frac{\left(\sum^n_{i = 1} a_i^2\right)\left(\sum^n_{i = 1} b_i^2\right)}{\left(\sum^n_{i=1}a_ib_i\right)^2} \leq \frac{(m + M)^2}{4mM}\)</math>
Il y a moyen de la résoudre sans connaissance particulière d'inégalité.

tu peux écrire ca sans <math>\(\Sigma\)</math> STP .

@candide: je suis en train de rédiger un post sur les 4 moyennes fondamentales. Dont la preuve par récurrence de l'inégalité citée.

Citation : Caduchon

@candide: je suis en train de rédiger un post sur les 4 moyennes fondamentales. Dont la preuve par récurrence de l'inégalité citée.

Arithmétique, géométrique, harmonique et ?


quadratique ?

Citation : candide

Citation : Caduchon

@candide: je suis en train de rédiger un post sur les 4 moyennes fondamentales. Dont la preuve par récurrence de l'inégalité citée.

Arithmétique, géométrique, harmonique et ?


quadratique ?

En effet

Un autre exos de géométrie, et il est irlandais :

Soit ABC un triangle d'aire 1 et P le milieu de côté [BC] . M et N sont deux points de [AB]-{A,B} et [AC]-{A,C} respectivement tels que AM=2MB et CN=2AN . Les droites (AP) et (MN) se coupent en un point D.
Trouvez l'aire du triangle ADN .

Citation : elionor

Un autre exos de géométrie, et il est irlandais :

Soit ABC un triangle d'aire 1 et P le milieu de côté [BC] . M et N sont deux points de [AB]-{A,B} et [AC]-{A,C} respectivement tels que AM=2MB et CN=2AN . Les droites (AP) et (MN) se coupent en un point D.
Trouvez l'aire du triangle ADN .

On pose M' milieu de [AM] et N' milieu de [NC]. Par Thalès, les triangles AM'N et AMN' sont semblable au triangle ABC dans des rapport respectivement de 1/3 et 2/3. Ainsi, l'aire du triangle AMN' vaut 4/9.
Notons P' l'intersection de MN' avec AP. Toujours par Thalès, P' est milieu de [MN']. Par ailleurs, N est milieu de [AN'] et et M' est milieu de [AM]. AP', M'N' et MN sont donc les trois médianes du triangle AMN'.
L'intersection des médianes d'un triangle est le centre de gravité de ce triangle et se trouve au tiers de la hauteur. Ainsi, le point D est au tiers de la hauteur du triangle AMN' ayant pour base [AM].
L'aire du triangle AMD est donc égale à 1/3 * 4/9 = 4/27

Citation : elionor

Un autre exos de géométrie, et il est irlandais :

Soit ABC un triangle d'aire 1 et P le milieu de côté [BC] . M et N sont deux points de [AB]-{A,B} et [AC]-{A,C} respectivement tels que AM=2MB et CN=2AN . Les droites (AP) et (MN) se coupent en un point D.
Trouvez l'aire du triangle ADN .

J'ai de nouveau des soucis quant à la formulation de ce problème...
Que signifient les passages en gras?

Plus loin, ne serait-il pas beaucoup plus clair de dire que <math>\(\|\overrightarrow{AM}\| = \frac{2}{3}\|\overrightarrow{AB}\|\)</math>, idem pour CN et AC?

[AB] : le segment de A à B (A et B compris)
{A,B} : A et B
[AB]-{A,B} : le segment AB, A et B non comprit.

Et pour ton autre question, oui c'est la même chose mais les vecteurs ne doivent pas être dans l'esprit de l'exo, ou alors il font exprès d'embrouiller.

Dans la littérature anglophone, ]a,b[ n'existe pas. Ils le notent avec des parenthèse pour le côté ouvert et des crochets pour le côté fermé.
Je croyais que c'était un truc belge mais apparemment on le fait aussi en France...


Autre problème sympathique de géométrie:

Un triangle est partagé par deux droites, à partir de deux de ses sommets, en trois triangles et un quadrilatère. Si les aires des trois triangles valent, comme présenté dans la figure ci-dessous, 2009, 2010 et 2011, quelle est l'aire du quadrilatère ?

( Typen, je vous ai donné la solution au cours, tu n'es pas autorisé à répondre )

Citation : Thêta tau tau

[AB] : le segment de A à B (A et B compris)
{A,B} : A et B
[AB]-{A,B} : le segment AB, A et B non comprit.

Alors c'est vraiment pas clair... Il faut utiliser là une notation ensembliste, au moins ce serait clair...
[AB]\{A,B}

Citation : Thêta tau tau

Et pour ton autre question, oui c'est la même chose mais les vecteurs ne doivent pas être dans l'esprit de l'exo, ou alors il font exprès d'embrouiller.

Je sais que c'est la même chose, mais je trouve étrangement formulé.
Vu que vous semblez trouver normal de noter la longueur AB la longueur du segment AB et pour éviter ma notation vectorielle, pourquoi pas :
AM = 2/3AB ?

Citation : victor

Alors c'est vraiment pas clair... Il faut utiliser là une notation ensembliste, au moins ce serait clair...
[AB]\{A,B}

La notation ensembliste A-B est un classique dans la littérature informatique (celle que je fréquente).
Elle a l'avantage de ne pas prêter à confusion et d'être implémentable par surdéfinition d'opérateur.

Citation : Caduchon

La notation ensembliste A-B est un classique dans la littérature informatique française (celle que je fréquente).

Fixed!

Et j'ai tout à fait à dessein évité de mettre francophone, hein.

Citation : victor

Citation : Caduchon

La notation ensembliste A-B est un classique dans la littérature informatique française (celle que je fréquente).

Fixed!

Et j'ai tout à fait à dessein évité de mettre francophone, hein.

Heu non...
Pour moi la littérature c'est les articles scientifiques que j'utilise pour ma thèse de doctorat.
Littérature parfaitement internationale, telle que
European Journal of Operational Research
Order
Annals of Discrete Mathematics
Lecture Notes in Computer Science
Journal of Graph Theory
...

Les inégalités des moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques se font en une ligne par concavité de la fonction "ln" ou convexité de la fonction "1/x". (Niveau TS)

Le cas n=3 :
Tout d'abord :
<math>\(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, a^2+b^2\leq2ab\)</math>
Trivalement vrai.

<math>\(\forall (u,v,w) \in \mathbb{R}^3, (u+v+w)^3=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2 + 2uv +2 vw +2 uw) \leq 3(u+v+w)(uv+vw+uw) \leq 3(u^2v + uvw + u^2w + uv^2 + v^2w+ uvw + uvw + vw^2+uw^2) \leq 3(3uvw + u(v^2+w^2) +v(u^2+w^2)+w(u^2+v^2)) \leq 27uvw\)</math>

Ainsi : <math>\(\forall (u,v,w) \in \mathbb{R}^3, (\frac{u+v+w}{3})^3 \leq uvw\)</math> ie <math>\(\forall (u,v,w) \in \mathbb{R}^3, \frac{u+v+w}{3} \leq (uvw)^\frac{1}{3}\)</math>

Remarque : Utiliser l'inégalité du réordonnement pour ça c'est un outil beaucoup trop puissant pour un résultat simple ... Concavité et Convexité conviennent beaucoup mieux.

Démonstration avec la concavité du "ln"

Soit <math>\(n\in \mathbb{N}\)</math> et<math>\((x_j)_{j\in[|1,n|]}\)</math> une famille de réels positifs.
Comme ln est concave, on a :
<math>\(ln(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} x_j) \geq \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} ln(x_j)\)</math>.

Or : <math>\(\sum_{j=1}^{n} ln(x_j) = ln(\prod_{j=1}^{n} x_j)\)</math>

D'où : <math>\(exp(ln(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} x_j)) \geq exp(\frac{1}{n} ln(\prod_{j=1}^{n} x_j))\)</math> (car exp est croissante).

Ainsi : <math>\(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} x_j \geq (\prod_{j=1}^{n} x_j)^{\frac{1}{n}}\)</math>

J'espère avoir été utile

Citation : Yaahhrr

Les inégalités des moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques se font en une ligne par concavité de la fonction "ln" ou convexité de la fonction "1/x". (Niveau TS)

Sauf que la concavité est hors programme (même pas sûr que ce soit au programme de toutes les prépas) et si mes souvenirs sont bons, ce qui est moins trivial, c'est la preuve de l'inégalité de convexité.

Il semble que tu as fait trop de <math>\(\mathrm\LaTeX\)</math>, Yaahhrr. C’est un slash qui ferme la balise « math », pas un anti-slash.

Oui désolé j'ai édité (et remis la démonstration avec la convexité)

@candide : j'ai appris que la définition de la concavité (resp de la convexité) était : <math>\(\forall x,y \in I, \forall \lambda \in [0,1], f(\lambda x + (1-\lambda)y) \geq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)\)</math> (resp <math>\(\leq\)</math>). Par récurrence on montre que c'est vrai pour n points pondérés dont la somme des poids vaut 1 et on applique à <math>\(\frac{1}{n}\)</math> non ?

Edit : Personnellement je l'ai fait en TS

Cette notion n'est effectivement pas au programme de TS si je ne m'abuse, ou alors j'ai été dans un très mauvais lycée (ou pas). Je suis en maths sup et j'ai pas encore abordé cette notion de concavité/convexité.

Citation : Yaahhrr

Par récurrence on montre que c'est vrai pour n points pondérés dont la somme des poids vaut 1

Oui mais j'ai souvenir que c'était vraiment ch... à prouver. Bon, je viens de regarder dans Arnaudies-Fraysse, c'est pas si méchant (mais sans être trivial).

Par ailleurs, ça ne suffit pas tout ça pour l'IAG, il faut encore prouver qu'une fonction dérivable est convexe ssi sa dérivée est croissante, et ça c'est pas évident du tout, c'est même vraiment technique, j'ai la preuve sous les yeux dans Arnaudiès-Fraysse.

Citation : Yaahhrr

Edit : Personnellement je l'ai fait en TS

Et peut-être même dans certaines premières de LLG

J'étais effectivement en 1ère S1,TS1 si tu y fait référence

Dites, il y a un post sur le sujet maintenant
La preuve pour n nombres y est faite avec des outils qui ne sont pas compliqués du tout (bien que ça soit astucieux).

Citation : Caduchon

Dites, il y a un post sur le sujet maintenant

Effectivement, il vaut mieux continuer les discussions sur l'IAG dans le message que tu as cité.

Ceux qui veulent parler des inégalités des moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques irons y parler ICI et pas dans ce post parce-que là on parle d'exercices d'olympiades et pas d'autre chose .

T'as pas un peu de rouge pour colorer ton message ?

Citation : elionor

Un autre exos de géométrie, et il est irlandais :

Soit ABC un triangle d'aire 1 et P le milieu de côté [BC] . M et N sont deux points de [AB]-{A,B} et [AC]-{A,C} respectivement tels que AM=2MB et CN=2AN . Les droites (AP) et (MN) se coupent en un point D.
Trouvez l'aire du triangle ADM .

on pose le repère <math>\((A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\)</math>,
donc on aura les coordonnées suivantes :
<math>\(A(0,0) - B(1,0) - C(0,1) - M(\frac{2}{3} ,0) - N(0 , \frac{1}{3} ) et P(\frac{1}{2} , \frac{1}{2} ).\)</math>
Pour déterminer les coordonnées de D, nous remarquons que D est l'intersection de (MN) et (AP) , donc les coordonnées de D sont les solutions
du système composés de :
L'équation de (AP).
L'équation de (MN).

Soit <math>\(\overrightarrow{MN}(0-\frac{2}{3} , \frac{1}{3} -0) \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}(-\frac{2}{3} , \frac{1}{3})\)</math>
et <math>\(\overrightarrow{AP} (\frac{1}{2},\frac{1}{2}).\)</math>
sachant que <math>\(\overrightarrow{MN}\)</math> est le vecteur directeur de la droit MN , donc l'équation de MN est s'écrit :
<math>\(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+c=0 \Leftrightarrow x+2y+3c=0\)</math>
et puisque <math>\(M \in (MN)\)</math> alors <math>\(\frac{2}{3}+3c=0\Leftrightarrow c=-\frac{1}{3}\)</math> donc :

<math>\((MN) : x+2y-\frac{1}{3}=0\)</math>
de même pour (AP) on trouve <math>\(x-y=0\)</math>

Donc les coordonnées de D(x,y) sont les solutions du système ci dessous :

• <math>\((MN) : x+2y-\frac{1}{3}=0\)</math>
• <math>\((AP) : x-y=0\)</math>

on trouve <math>\(D(\frac{1}{9} , \frac{1}{9})\)</math>

ce qui veut dire : <math>\(\overrightarrow{AD}(\frac{1}{9},\frac{1}{9})\)</math> et <math>\(\overrightarrow{AM}(\frac{2}{3},0)\)</math>

et sachant que la surface d'un triangle peut se calculer analytiquement avec la relation suivante :
<math>\(\mathrm{S}=\frac{1}{2} | \begin{vmatrix} \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AD} \end{vmatrix} |=\frac{1}{2}| \frac{1}{9} \times 0 - \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} |=\frac{1}{2} \times \frac{2}{27}= \frac{1}{27}\)</math> donc <math>\(\mathrm{S}_ADM=\frac{1}{27}\)</math> , On dirait qu'il y a une faute de calcul là, ma méthode dit que S=1/27, celle de Caduchon dit que S=4/27 , récapitulez les gas .

L'expression de <math>\((MN)\)</math> est fausse.