bonjour a toutes et a tous
voila alors je commence les révisions tôt cet année pour les préparation du Bac.Et en faisant un exo de math , j'ai trouvé un petit problème concernant les suites réels.
voici ce qu'on me demande:
a partir de cet inéquation , 0<3-Un+1 <1/3(3-Un)
déduire par récurrence ceci 0<3-Un <1/3^(n-1)
ps:U0 = 0
et Un+1= Racine(Un+6)

voila , et merci d'avance

Est-ce que tu peux réécrire tes inégalités dans une balise math ?
Est-ce que le problème est bien :
<math>\(U_0=0\)</math>
<math>\(U_{n+1} = \sqrt{U_n+6}\)</math>
On sait : pour tout <math>\(n\)</math> entier, <math>\(0<3-U_{n+1}<\frac{1}{3}(3-U_n)\)</math>
On veut : pour tout <math>\(n\)</math> entier, <math>\(0<3-U_n<\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)</math>

Est-ce que tu peux nous dire à partir de quel moment tu bloques ?

en fait il faut faire une déduction par récurrence , et j'y arrive pas :s .
Ps: c'est <math>\(\frac{1}{3^{n+1}}\)</math>

Etant donné la priorité des opérations tu avais effectivement écrit ça correctement.

Pour faire le raisonnement par récurrence, il faut que tu fasses l'initialisation puis que tu passes d'un rang au suivant.

L'initialisation, c'est vérifier que <math>\(0<3-U_0<3\)</math> ce qui pose déjà un problème si il s'agit d'une inégalité stricte car <math>\(U_0=0\)</math>.
On peut alors éventuellement partir de <math>\(n=1\)</math> et vérifier <math>\(0<3-U_1<1\)</math>

Ensuite, en partant de l'hypothèse au rang <math>\(n\)</math> : <math>\(0<3-U_n<\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)</math>
et de l'inéquation de départ : <math>\(0<3-U_{n+1}<\frac{1}{3}(3-U_n)\)</math>

Tu dois montrer que l'hypothèse est vraie au rang <math>\(n+1\)</math>, c'est-à-dire montrer l'inégalité <math>\(0<3-U_{n+1}<\left(\frac{1}{3}\right)^n\)</math>

Bonsoir

Citation

partir de cet inéquation , 0<3-Un+1 <1/3(3-Un)

On suppose que c'est démontré?
Bon c'est facile mais finalement pas plus que la recurrence trés simple D'où ma question
( mais peut être le blocage c'est une simple question de revoir ce qu'est une récurrence?)

@ rushia : Il a dit que c'est <math>\(\frac1{3^{n+1}}\)</math>, et non <math>\(\left(\frac13\right)^{n-1} = \frac1{3^{n-1}}\)</math>. Ton début de démonstration est donc à revoir.

Citation : Énoncé

<math>\(U_0=0\)</math>
<math>\(U_{n+1} = \sqrt{U_n+6}\)</math>
On sait : pour tout <math>\(n\)</math> entier, <math>\(0 < 3-U_{n+1} < \frac{1}{3}(3-U_n)\)</math>

On veut : pour tout <math>\(n\)</math> entier, <math>\(0 < 3-U_n < \frac1{3^{n+1}}\)</math>

Mais, euh... Elle est fausse l'inégalité à démontrer :
<math>\(\text{pour }n=0\text{ :}\qquad 0 < 3-0 < \frac1{3^1} \quad\Rightarrow\quad 3 < \frac13 \quad\Rightarrow\quad \text{absurde !}\)</math>
<math>\(\text{pour }n=1\text{ :}\qquad 0 < 3-\sqrt{6} < \frac1{3^2} \quad\Rightarrow\quad \approx0,55 < \frac19 \quad\Rightarrow\quad \text{absurde !}\)</math>

Donc ryz, peux-tu confirmer que c'est bien <math>\(\frac1{3^{n+1}}\)</math> (et non <math>\(\frac1{3^{n-1}}\)</math>) ? Et qu'il s'agit d'une inégalité stricte (<math>\(<\)</math> et non <math>\(\leq\)</math>) ? Et peut-être préciser l'intervalle de <math>\(n\)</math> sur lequel ces inéquations sont vraies (<math>\(\mathbb N\)</math>, <math>\(\mathbb N^*\)</math>, ...) ?

Bonjour,
@Maëlan
L'indiçage différant dans les deux inéquations a pu prêter àconfusion mais en aucun cas on ne peut avoir <math>\(\[ \dfrac{1}{3^{n+1}} \]\)</math>, me semble-t-il
Soit on écrit la deuxième inéquation pour <math>\(U_n\)</math> auquel cas on a <math>\(\[ \dfrac{1}{3^{n-1}} \]\)</math> comme écrit par @Rushia,
Soit on écrit les deux au même rang <math>\(U_{n+1}\)</math> et on aura <math>\(\[ \dfrac{1}{3^n}} \]\)</math>

@ nabucos : Ça doit être ça, ou alors il a simplement fait une erreur d'inattention en nous disant <math>\(\[ \dfrac{1}{3^{n+1}} \]\)</math> au lieu de <math>\(\[ \dfrac{1}{3^{n-1}} \]\)</math>.

C'est ce que j'avais conclu et qui m'avait amené à conserver le n-1.

Mille excuses
Je barrerai mon message dès que ryz aura confirmé la bonne formule...

Tu es sure que ça se fait par récurrence ? D'habitude on suppose une proprieté vraie pour n entier naturel, et on démontre la meme proprieté pour l'entier (n+1). Ici c'est plutot l'inverse total.

Nan nan, ça se fait bien par récurrence.
Je vois pas où c'est inversé. On a une relation entre le rang n et le rang n+1 et on souhaite montrer une formule vrai pour tout n

Ben, il devient quoi ryz ?