Bonsoir,

Je coince actuellement sur un probleme de trigo (en fait, je dois simplifier une puissance d'un nombre complexe avec la formule de Moivre, mais je bloque justement dans la partie trigonométrique). Comment trouver <math>\(\theta\)</math>, sachant que :

<math>\(\cos{\theta} = \frac{-\sqrt{3} -1}{2}\)</math>

<math>\(\sin{\theta} = \frac{-\sqrt{3} +1}{2}\)</math>

Je ne sais pas par quel bout le prendre... Pouvez vous m'aider, svp ?

Merci !

Salut,
Es-tu sûr de tes valeurs ? <math>\(\frac{-1-\sqrt 3 }{2}\)</math> est inférieur à -1 et n'est donc pas la valeur d'un cosinus...

Ouille, tu as raison, j'ai omis que <math>\(r = \sqrt{2}\)</math>.

Donc ça nous donne :

<math>\(\cos{\theta} = \frac{-\sqrt{3} -1}{2 \sqrt{2}}\)</math>

<math>\(\sin{\theta} = \frac{-\sqrt{3} +1}{2 \sqrt{2}}\)</math>

Le complexe à l'origine, c'est <math>\(z = \frac{\sqrt{3} - i}{i - 1}\)</math>, et on doit trouver <math>\(z^{12}\)</math>.

Pour l'instant, je trouve donc en notation trigonométrique que <math>\(z = \sqrt{2} (\cos{\theta} + i \sin{\theta})\)</math>, avec la valeur du sinus et cosinus de <math>\(\theta\)</math>, et là je coince...

Je n'en sais pas plus que toi, mais as-tu essayé avec les formules du type <math>\(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)</math> ?

ÉDIT : Ça a l'air de donner quelque chose pour ton cos :
<math>\(\cos\theta = \frac{-\sqrt3-1}{2\sqrt2} \quad=\quad -\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt2}{2} ~~-~~ \frac12\times\frac{\sqrt2}{2}\)</math>
et même chose pour ton sin :
<math>\(\sin\theta = \frac{-\sqrt3+1}{2\sqrt2} \quad=\quad -\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt2}{2} ~~+~~ \frac12\times\frac{\sqrt2}{2}\)</math>

Sachant ceci :
<math>\(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)</math>
<math>\(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)</math>
je pense qu'il y a moyen de retrouver <math>\(\theta = a+b\)</math>.

ÉDIT 2 : Je trouve <math>\(a = \frac{5\pi}6 \mod 2\pi\)</math> et <math>\(b = \frac\pi4 \mod 2\pi\)</math>, d'où <math>\(\theta = a+b = \frac{13\pi}{12} \mod 2\pi\)</math>

Le plus simple ici, est de considérer <math>\(z=\frac{z_1}{z_2}\)</math> et de calculer le module et l'argument de <math>\(z\)</math> en fonction des arguments et modules de <math>\(z_1\)</math> et <math>\(z_2\)</math> qui sont très simples à calculer.

Bonsoir,
arf ...Rushia a tout dit. J'efface ce que je tapais!

j'ajoute juste que le résultat montre pourquoi on demande de calculer ...<math>\(Z^{12}\)</math>!

OK, merci à tous.

C'est possible tout de même de résoudre (de façon généraliste) le problème de trigo posé ? C'est difficile ?

Maëlan : ta démarche est intéressante, mais c'est juste une grosse galère d'essayer de trouver un résultat comme ça. Clair que ça ne va pas marcher à tous les coups. En tout cas, quel courage !

Citation : yoch

Maëlan : ta démarche est intéressante, mais c'est juste une grosse galère d'essayer de trouver un résultat comme ça. Clair que ça ne va pas marcher à tous les coups. En tout cas, quel courage !

Merci, j'attends la statue. Je n'ai pas ton niveau (jamais vu la formule de De Moivre) donc je ne peux pas utiliser de choses plus élaborées comme tu dois être en train de voir. Si je t'ai proposé ça, c'est parce que ça avais l'air de marcher
Bon, c'est sûr, si c'était <math>\(\cos\theta = \frac{\sqrt{1337}}{\sqrt[3]{42}}\)</math>, j'aurais même pas essayé, mais avec des <math>\(\sqrt3\)</math>, des <math>\(\sqrt2\)</math> et des <math>\(1\)</math> c'est quand même tentant de chercher des trucs.

La formule de Moivre, c'est "simplement" :
<math>\((\cos(x)+i\sin(x))^n = \cos(nx)+i\sin(nx)\)</math>
Ce qui est évident si on utilise la notation exponentielle.

Citation : rushia

La formule de Moivre, c'est "simplement" :
<math>\((\cos(x)+i\sin(x))^n = \cos(nx)+i\sin(nx)\)</math>
Ce qui est évident si on utilise la notation exponentielle.

D'accord, mais à quel niveau on voit ça ?

Il me semble qu'on doit voir la notation exponentielle en Terminale, mais on ne donne peut-être pas de nom à cette formule à ce moment là. Sinon, ça devait être dans mon formulaire de formules à connaître que nous avaient refilé nos profs de prépa pour les vacances séparant la terminal de la sup.

Okey, donc peut-être que je vais voir ça (très) bientôt alors.

Citation : Maëlan

Merci, j'attends la statue.

Je te l'envoie par mail.

Sinon, pour la formule de Moivre, on doit voir ça en Terminale S.