Bonjour,

Je cherche à trouver une formule mathématique qui me permettrait d'obtenir le resultat suivant :

En fonction d'une variable X

quand X = 0 alors le resultat de la formule donne 1
quand X <math>\(\neq\)</math> 0 alors le resultat de la formule donne 0

Mais sans utiliser de fonction type min, max etc.... mais uniquement avec addition, soustraction, division, multiplication, puissance,....


Merci d'avance.

Bonjour.Oups , désolé j'avais écris n'importe quoi ! alors plutot -1+1^x !

Ça m'a l'air un peu ardu comme tâche, car s'amuser avec la fonction <math>\(x \mapsto x\)</math> en faisant des soustractions, multiplications, puissances, en ajoutant des constantes, et même le min et le max finalement, te donneront des fonctions continues de <math>\(x\)</math>; or celle que tu demandes ne l'est pas en 0...

Sinon, tu dis que c'est la dérivée de la fonction Heaviside au sens des distributions... [boutade pas drôle]

Si tu ne veux que des opérations simples, donc une fonction polynomiale, seule une somme infinie de fonctions pourrait donner ce résultat, à moins d'utiliser une limite de fonction genre delta de Dirac…

<math>\(0^x\)</math> avec pour convention <math>\(0^0 = 1\)</math> ?

Sinon, juste une petite remarque pour le min et le max qui semblent interdits pour ton problème, le min comme le max peuvent s'écrire avec des opérations usuelles (si tu considères la valeur absolue comme en étant une): pour x et y des réels, on a,

<math>\(\min(x,y)=\frac{x+y-|x-y|}{2}\)</math>, et

<math>\(\max(x,y)=\frac{x+y+|x-y|}{2}\)</math>.

Et puis la fonction |x| peut s'écrire <math>\(sqrt(x)^2\)</math>

Citation : Kalvram

Et puis la fonction |x| peut s'écrire <math>\(\sqrt x^2\)</math>

Moi je préfère <math>\(\sqrt{x^2}\)</math>, on évite les ennuis avec les nombres négatifs (à quoi servirait la fonction valeur absolue si on n'avait que des positifs ?).

Sinon, de but en blanc, j'aurais dit comme Doulilos :

Citation : Doulilos

<math>\(0^x\)</math> avec pour convention <math>\(0^0 = 1\)</math> ?

Citation : Doulilos

<math>\(0^x\)</math> avec pour convention <math>\(0^0 = 1\)</math> ?

Si x est réél, cela n'a pas de sens, a^x n'étant défini que pour a >0. Dans ce cas tu vas me dire "pas grave, on dit que par convention, 0^x=0 pour x différent de zéro". Mais dans ce cas, tu viens exactement de définir cette fonction comme : " si x = 0, f(x)=1, sinon f(x)=0".

comme souligné par sylpro, une telle construction n'est pas possible à moins d'utiliser des limites et autre joyeusetés.

Question : est-ce un "défi" que tu te lances ou tu en as besoin pour une utilisation pratique ? En général, on n'a pas besoin de ce genre de gymnastique !

@Me Cappelo : ah bon ? le dirac est une limite de fonction ? Pour quelle topologie ?

Quel est l'ensemble de définition de la fonction voulue ? Les réels, les entiers ? Seulement positifs ou pas ? Ça a son importance si on tente quelque chose avec des min/max et parce que si on considère aussi les négatifs on ne peut pas faire <math>\(0^x\)</math> (ok il suffit de faire <math>\(0^{|x|}\)</math>).

Pour <math>\(n\in\mathbb Z\)</math>, je propose ceci : <math>\(1 - \min(1, |n|)\)</math>,en considérant d'après les remarques précédentes que <math>\(\min\)</math> peut s'obtenir avec des fonctions usuelles.

Pour <math>\(n\in\mathbb R\)</math>, d'après les éminents voisins du dessus ce n'est pas possible simplement.

Citation : sebsheep

ah bon ? le dirac est une limite de fonction ? Pour quelle topologie ?

Eh bien, je pensais en fait à :

<math>\(\delta(x)=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{1}{a\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(\frac xa)^2}\)</math>

Oui, si tu prends comme def que le dirac est l'indicatrice du singleton {0}, ta fonction convient... Mais par dirac on entends plus généralement "distribution" ou "mesure" qui ne sont elles même pas des fonctions ; d'où l'ambiguité.

Le symbole de Kronecker en zéro ?

Personne n'a remarqué la réponse de Sylpro ? Elle règle parfaitement le problème.

Citation : @dri1

Personne n'a remarqué la réponse de Sylpro ? Elle règle parfaitement le problème.

Laquelle ? Celle de la dérivée de la fonction Heavyside ?

elle

Oui, et alors ?

Et bien, l'absolue pouvant se définir avec <math>\(\sqrt{x^2}\)</math> (usuelle), min et max sont utilisables en les remettant sous la forme proposée par sylpro.

Oui, j'ai bien compris, mais comment utilises-tu ces min et max pour définir la fonction qui nous occupe ?

Ben... Hum, bonne question. Une idée pour le faire m'était venue à l'esprit, mais en la réecrivant de plusieurs façons, je me suis rendu compte que soit il y avait un problème en 0, soit en 1, soit il s'agissait d'une fraction qui continue sur elle-même à l'infini (je ne sais pas comment cela s'appelle).

Un fraction de ce genre là <math>\(x_1 + \frac{1}{x_2 + \frac{1}{x_3 + \frac{1}{x_4 + ...}}}\)</math> ?

Et bien, comme tu l'as presque dit finalement, ça s'appelle une fraction continue !

Oui, c'est cela. Merci !

sylpro, c'était pas bête du tout de parler de la dérivée de Heavyside puisque la définition qu'il veut est donnée directement par la Dirac.
Sachant que c'est pas une distribution régulière, elle ne peut-être obtenu explicitement à partir d'une fonction de <math>\(L^{1}_{loc}\)</math> il me semble.

Citation : Hod

sylpro, c'était pas bête du tout de parler de la dérivée de Heavyside puisque la définition qu'il veut est donnée directement par la Dirac.
Sachant que c'est pas une distribution régulière, elle ne peut-être obtenu explicitement à partir d'une fonction de <math>\(L^{1}_{loc}\)</math> il me semble.

Nononon, parler de dérivée de Heavyside était une boutade, et ne peut pas être pris sérieusement dans ce contexte ; comme je l'ai dit plus haut, le dirac (au sens des distributions) n'est pas une fonction ! (t'en connais beaucoup des fonctions nulles partout sauf en un point et qui sont d'intégrale 1 ?)

Non bien sur, mais c'est une distribution qui correspond à la définition que l'auteur recherche.
Je dis juste que comme c'est une distribution singulière, elle n'est pas obtenue à partir d'une fonction localement intégrable. Cela, je suppose, ne veut pas forcément dire qu'il n'est pas possible de trouver une fonction qui ne satisfait pas cette définition, mais ça doit pas mal compliquer la chose, non ?

Bonjour,

Je ne suis pas un mathematicien, vos reponses m'ont cependant bien aidé, surtout celle de l'equation du min (je savais pas que ca pouvait se mette en equation simple) et celle de la valeur absolue.

Donc pour resoudre mon probleme, on peut donc ecrire l'equation suivante.

Solution = <math>\(\frac{1-\sqrt{x^2}+\sqrt{(\sqrt{x^2}-1)^2}}{2}\)</math>

Merci pour vos lumières.

Pour le reste de ce que vous avez marqué, j'ai pas pu aller jusqu'au bout, j'avais plus assez de doliprane.

Citation : minosubb

Donc pour resoudre mon probleme, on peut donc ecrire l'equation suivante.

Solution = <math>\(\frac{1-\sqrt{x^2}+\sqrt{(\sqrt{x^2}-1)^2}}{2}\)</math>

Wolfram|alpha montre que que ta fonction ne respecte pas ta définition sur [-1,1].

Citation : zMath

Wolfram|alpha montre que que ta fonction ne respecte pas ta définition sur [-1,1].

C'est pour ça que j'avais dit (#) que cette formule était valable sur <math>\(\mathbb Z\)</math>. Tout dépend de la raison de la question : pourquoi demande-t-il ça ? A-t-il besoin d'une définition sur <math>\(\mathbb R\)</math> ou bien <math>\(\mathbb Z\)</math> suffit ?

Sinon, on peut toujours écrire une fonction définie par morceaux, mais j'imagine que ce n'est pas le but recherché.
<math>\(f(x) = \left\{\begin{array} &0\quad\text{si $x\ne0$} &1\quad\text{si $x=0$} \end{array}\)</math>

J'avais omis de préciser que x est un entier.

C'est pas une fonction continue.
C'est un peu nimporte quoi.