Maîtrisez les bases des probabilités

Premières définitions

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Considérons une première définition toute simple : une variable aléatoire est une application, une fonction qui, à chaque résultat d'une expérience aléatoire, autrement dit à chaque élément de $\$\backslash (\backslash Omega\backslash )\$$ , associe un nombre réel comme image.

Exemple

On lance deux dés et on considère la variable aléatoire qui, à chaque issue de l'expérience, associe comme image la somme des deux faces obtenues.

Ainsi, $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ est une application qui, à chaque issue de l'expérience, autrement dit à chaque lancer, associe comme image un entier entre 2 et 12.

Qu'est-ce que le support d'une variable aléatoire ?

On appelle support d'une variable aléatoire l'ensemble des valeurs que cette variable aléatoire peut prendre. Pour une variable aléatoire $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ , on note cet ensemble  $\$\backslash (X(\backslash Omega)\backslash )\$$ .

Dans notre exemple, où on lance deux dés, nous aurons :

  $\$\backslash (X(\backslash Omega)\; =\; \backslash left\backslash \{2,\; 3,\; 4,\; 5,6,7,8,\; 9,\; 10,\; 11,\; 12\backslash right\backslash \}\backslash )\$$

Si ce support est fini ou dénombrable, par exemple si l'ensemble image est inclus dans $\$\backslash (\backslash mathbb\{N\}\backslash )\$$ , on qualifiera la variable aléatoire de discrète. On parlera d'une VAD (variable aléatoire discrète). 

Si ce support n'est pas dénombrable, par exemple si l'ensemble image est un intervalle de $\$\backslash (\backslash mathbb\{R\}\backslash )\$$, on qualifiera la variable aléatoire de continue, ou bien on dira qu'elle est à densité. On pourra alors la qualifier de VAC (variable aléatoire continue).

Exemple

Reprenons l'exemple du dé. Disons que notre expérience aléatoire consiste à lancer un dé équilibré exactement trois fois. Ainsi, notre ensemble fondamental $\$\backslash (\backslash Omega\backslash )\$$ serait constitué de triplets de nombres entiers entre 1 et 6 : 

  $\$\backslash (\backslash Omega\; =\; \backslash left\backslash \{(4,\; 2,\; 3),\; (1,\; 2,\; 6),\; (3,\; 2,\; 3)\; ,\; (4,\; 5,1),\; ...\; \backslash right\backslash \}\backslash )\$$

On peut définir une fonction qui, à chacun de ces résultats, associe un nombre réel comme image. Notons-la $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ et disons que $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ associe à chaque issue de notre expérience, autrement dit à chaque triplet de $\$\backslash (\; \backslash Omega\backslash )\$$ , le nombre de faces paires obtenues.

Ainsi, pour  $\$\backslash (\backslash omega\_0\; =\; (1,\; 2,\; 3)\backslash )\$$ , on aurait :

  $\$\backslash (X(\backslash omega\_0\; )\; =\; 1\backslash )\$$

De même, si on posait $\$\backslash (\backslash omega\_1\; =\; (1,\; 3,\; 3)\backslash )\$$ , on aurait :

  $\$\backslash (X(\backslash omega\_1\; )\; =\; 0\backslash )\$$

Alors que $\$\backslash (\backslash omega\_2\; =\; (2,\; 6,\; 4)\backslash )\$$ aurait pour image :

  $\$\backslash (X(\backslash omega\_2\; )\; =\; 3\backslash )\$$

Etc.

En réalité, à partir de la définition de $\$\backslash (X\backslash )\$$ , on peut aisément construire son support, ou l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre. En l’occurrence, $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 3. En effet, on peut tout à fait obtenir un triplet composé exclusivement de nombres impairs. Par ailleurs, il ne peut y avoir au maximum que 3 nombres pairs parmi les 3 faces apparaissant lors des lancers.  Ainsi, dans cet exemple, le support de $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ noté $\$\backslash (X(\backslash Omega)\backslash )\$$ serait :

  $\$\backslash (X(\backslash Omega)\; =\; \backslash left\backslash \{0,\; 1,\; 2,\; 3\backslash right\backslash \}\; =\; \{[\backslash ![0;3]\backslash !]\}\backslash )\$$

Remarque

Étant donné deux entiers $\$\backslash (m\; \backslash )\$$ et $\$\backslash (n\backslash )\$$ , avec $\$\backslash (n\; >\; m\backslash )\$$ , l'ensemble des entiers de $\$\backslash (m\; \backslash )\$$ à $\$\backslash (n\; \backslash )\$$ s'écrit $\$\backslash (\{[\backslash ![m;n]\backslash !]\}\backslash )\$$ .

Pour aller plus loin...

Voici une deuxième définition, un peu plus précise, de ce que l'on appelle une variable aléatoire.

Reprenons notre espace probabilisable $\$\backslash ((\backslash Omega,\; \backslash mathscr\{T\})\backslash )\$$  vu au chapitre précédent.

Pour qu'une application $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ de $\$\backslash (\; \backslash Omega\backslash )\$$ dans $\$\backslash (\backslash mathbb\{R\}\backslash )\$$ puisse être considérée comme une variable aléatoire, il faut que, pour tout $\$\backslash (x\backslash )\$$ réel, l'ensemble $\$\backslash (\backslash left\backslash \{\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega,\; X(\backslash omega)\; \backslash leq\; x\; \backslash right\backslash \}\backslash )\$$ appartienne à $\$\backslash (\backslash mathscr\{T\}\backslash )\$$ . Autrement dit, il faut que cet ensemble soit bien un événement.

Événements liés à une variable aléatoire

Notation

L'événement $\$\backslash (\backslash left\backslash \{\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega,\; X(\backslash omega)\; =\; x\; \backslash right\backslash \}\backslash )\$$ sera bien plus simplement noté : $\$\backslash ((X=x)\backslash )\$$ ou encore $\$\backslash ([X=x]\backslash )\$$ .

Exemple

Si on reprend l'exemple de la section 1, l'événement "Obtenir aucune face paire" serait par exemple noté : $\$\backslash ([X=0]\backslash )\$$ .

Tandis que l'événement "Obtenir deux faces paires" s'écrirait à l'aide de la variable aléatoire $\$\backslash (X\backslash )\$$ comme ceci : $\$\backslash ([X=2]\backslash )\$$ .

Par ailleurs, on peut naturellement utiliser aussi des inégalités pour écrire des événements à l'aide d'une variable aléatoire. Dans notre exemple, l'événement "Obtenir au moins une face paire" s'écrirait : $\$\backslash ([X\; \backslash geq\; 1]\backslash )\$$ .