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Mis à jour le 14/02/2020

Appréhendez le fonctionnement de la régression linéaire multiple

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On souhaite cette fois expliquer, de manière linéaire, une variable Y (variable à expliquer), aléatoire en fonction de p variables (X1,,Xp) , et non plus d'une seule variable.

Extension naturelle du modèle de régression linéaire simple, le modèle de régression linéaire multiple suppose que :

Y=β1X1+β2X2++βpXp+ε

où :

  • Y est une v.a.r, observable ;

  • (X1,,Xp) sont déterministes (non aléatoires), observables ;

  • (β1,,βp) sont des paramètres inconnus (non observables) ;

  • ε , l'erreur du modèle, est une v.a.r centrée de variance σ2 inconnue (c'est également un paramètre du modèle).

Dans le cas de l'ozone, on considérera le pic d'ozone journalier pour Y et les différentes variables météorologiques (température, vitesse du vent, etc.), ainsi que le pic d'ozone de la veille pour X1,,Xp .

Les données

On considère ici que l'on dispose de n observations (xi1,,xip,yi)i{1,,n} d'un échantillon i.i.d de (X1,,Xp,Y) :

i{1,,n}:yi=β1xi1+β2xi2++βpxip+εi 

De manière identique à la régression linéaire simple, les erreurs (εi)i{1,,n} vérifient pour (i,j)i{1,,n}2 :

  •  E(εi)=0 (elles sont centrées autour de 0) ;

  •  Var(εi)=σ2 (leur variance, inconnue, est constante et égale à σ2 ) ;

  •  Cov(εi,εj)=0 si ij (elles n'ont pas de dépendance linéaire).

Matriciellement, on peut réécrire le problème sous la forme suivante :

Y=Xβ+ε

où :

Y=(y1yn), X=[x11x1p      xn1xnp.], β=(β1βp), ε=(ε1εn)

Régression linéaire multiple avec ou sans constante

En présence d'un terme constant dans le modèle, on considérera que la première variable X1 est égale à 1 : 

i{1,,n}:xi1=1

On est alors en présence de p1 vraies variables explicatives et de p paramètres à estimer (avec en sus σ2 qui reste à estimer quel que soit le cas).

Linéarisation de modèles de régression

Il est possible de considérer comme variables explicatives des transformations (puissance, exponentielle, logarithme, etc.) de  X1,,Xp .

Après cette introduction au modèle, continuons avec la méthode des Moindres Carrés Ordinaires, que vous avez découverte dans la partie précédente... 

Exemple de certificat de réussite
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