• 12 hours
  • Medium

Free online content available in this course.

course.header.alt.is_video

course.header.alt.is_certifying

Got it!

Last updated on 9/5/19

Estimez une moyenne et une variance

Log in or subscribe for free to enjoy all this course has to offer!

Cas de la consommation d'essence

Pour estimer la consommation moyenne (théorique) dans le second exemple, $\(\mu\)$ , le choix de la  moyenne empirique $\(\overline{x}\)$ paraît là encore naturel.

On obtient comme "estimateur" cette consommation moyenne :

$\[\overline{x}=\frac{1}{128}\sum_{i=1}^{128} x_{i}\simeq 31.45\]$

Pour estimer cette fois la variance de cette consommation, $\(\sigma^2\)$, on choisit de manière analogue la variance... empirique ! On constate ici que les notions vues en statistiques descriptives ont tout leur intérêt dans le domaine de l'inférentiel.

On peut donc considérer comme "estimateur" cette variance de consommation :

$\[v=\frac{1}{128}\sum_{i=1}^{128} \left( x_{i}-\overline{x}\right)^{2}\simeq 4.63\]$

On considère souvent la version dite "non biaisée" de cette variance (on divise par 127 au lieu de 128) :

$\[s^{\prime 2}=\frac{1}{127}\sum_{i=1}^{128} \left( x_{i}-\overline{x}\right)^{2}\simeq 4.66\]$

Cette version est souvent celle par défaut dans les logiciels statistiques, on rediscutera plus tard du choix privilégié de  $\(S^{\prime 2}\)$  par rapport à $\(V\)$.

Cas général

Dans le cas où un dispose d'un échantillon i.i.d dont la loi admet comme moyenne théorique (il s'agit de l'espérance mathématique !) $\(\mu\)$ et comme variance $\(\sigma^{2}\)$ , on considère comme estimateur de $\(\mu\)$ :

$\[\widehat{\mu}=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_{i}\]$

et comme estimateurs de $\(\sigma^{2}\)$ :

$\[\widehat{\sigma}_{\text{non biaisé}}^{2}=S^{\prime 2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left( X_{i}-\overline{X}\right) ^{2}\]$

ou :

$\[\widehat{\sigma}_{\text{biaisé}}^{2}=V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\]$

Example of certificate of achievement
Example of certificate of achievement