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Last updated on 3/13/24

Estimez une moyenne et une variance

Cas de la consommation d'essence

Pour estimer la consommation moyenne (théorique) dans le second exemple, μ , le choix de la  moyenne empirique ¯x paraît là encore naturel.

On obtient comme "estimateur" cette consommation moyenne :

¯x=1128128i=1xi31.45

Pour estimer cette fois la variance de cette consommation, σ2, on choisit de manière analogue la variance... empirique ! On constate ici que les notions vues en statistiques descriptives ont tout leur intérêt dans le domaine de l'inférentiel.

On peut donc considérer comme "estimateur" cette variance de consommation :

v=1128128i=1(xi¯x)24.63

On considère souvent la version dite "non biaisée" de cette variance (on divise par 127 au lieu de 128) :

s2=1127128i=1(xi¯x)24.66

Cette version est souvent celle par défaut dans les logiciels statistiques, on rediscutera plus tard du choix privilégié de  S2  par rapport à V.

Cas général

Dans le cas où un dispose d'un échantillon i.i.d dont la loi admet comme moyenne théorique (il s'agit de l'espérance mathématique !) μ et comme variance σ2 , on considère comme estimateur de μ :

ˆμ=¯X=1nni=1Xi

et comme estimateurs de σ2 :

ˆσ2non biaisé=S2=1n1ni=1(Xi¯X)2

ou :

ˆσ2biaisé=V=1nni=1(Xi¯X)2

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