Initiez-vous à la statistique inférentielle

Cas de la consommation d'essence

Pour estimer la consommation moyenne (théorique) dans le second exemple, $\$\backslash (\backslash mu\backslash )\$$ , le choix de la  moyenne empirique $\$\backslash (\backslash overline\{x\}\backslash )\$$ paraît là encore naturel.

On obtient comme "estimateur" cette consommation moyenne :

$\$\backslash [\backslash overline\{x\}=\backslash frac\{1\}\{128\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{128\}\; x\_\{i\}\backslash simeq\; 31.45\backslash ]\$$

Pour estimer cette fois la variance de cette consommation, $\$\backslash (\backslash sigma^2\backslash )\$$, on choisit de manière analogue la variance... empirique ! On constate ici que les notions vues en statistiques descriptives ont tout leur intérêt dans le domaine de l'inférentiel.

On peut donc considérer comme "estimateur" cette variance de consommation :

$\$\backslash [v=\backslash frac\{1\}\{128\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{128\}\; \backslash left(\; x\_\{i\}-\backslash overline\{x\}\backslash right)^\{2\}\backslash simeq\; 4.63\backslash ]\$$

On considère souvent la version dite "non biaisée" de cette variance (on divise par 127 au lieu de 128) :

$\$\backslash [s^\{\backslash prime\; 2\}=\backslash frac\{1\}\{127\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{128\}\; \backslash left(\; x\_\{i\}-\backslash overline\{x\}\backslash right)^\{2\}\backslash simeq\; 4.66\backslash ]\$$

Cette version est souvent celle par défaut dans les logiciels statistiques, on rediscutera plus tard du choix privilégié de  $\$\backslash (S^\{\backslash prime\; 2\}\backslash )\$$  par rapport à $\$\backslash (V\backslash )\$$.

Cas général

Dans le cas où un dispose d'un échantillon i.i.d dont la loi admet comme moyenne théorique (il s'agit de l'espérance mathématique !) $\$\backslash (\backslash mu\backslash )\$$ et comme variance $\$\backslash (\backslash sigma^\{2\}\backslash )\$$ , on considère comme estimateur de $\$\backslash (\backslash mu\backslash )\$$ :

$\$\backslash [\backslash widehat\{\backslash mu\}=\backslash overline\{X\}=\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_\{i\}\backslash ]\$$

et comme estimateurs de $\$\backslash (\backslash sigma^\{2\}\backslash )\$$ :

$\$\backslash [\backslash widehat\{\backslash sigma\}\_\{\backslash text\{non\; biaisé\}\}^\{2\}=S^\{\backslash prime\; 2\}=\backslash frac\{1\}\{n-1\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash left(\; X\_\{i\}-\backslash overline\{X\}\backslash right)\; ^\{2\}\backslash ]\$$

ou :

$\$\backslash [\backslash widehat\{\backslash sigma\}\_\{\backslash text\{biaisé\}\}^\{2\}=V=\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash left(\; X\_\{i\}-\backslash overline\{X\}\backslash right)^\{2\}\backslash ]\$$