Initiez-vous à la statistique inférentielle

Tester la moyenne (théorique) d'un échantillon

Le coin méthodologique

Supposons que nous ayons à disposition un échantillon i.i.d de loi $\$\backslash (\backslash mathcal\{N\}\backslash left(\backslash mu,\backslash sigma^2\backslash right)\backslash )\$$, ou un grand échantillon i.i.d quelconque (en pratique de taille supérieure à 30).
On considère les tests suivants (c'est le test 3 qui est considéré dans le second exemple introductif) :

1. $\$\backslash (\backslash begin\{cases\}H\_\{0\}:\backslash mu=\backslash mu\_\{0\}\backslash \backslash H\_\{1\}:\backslash mu>\backslash mu\_\{0\}\backslash end\{cases\}\backslash )\$$

3. $\$\backslash (\backslash begin\{cases\}\; H\_\{0\}:\backslash mu=\backslash mu\_\{0\}\backslash \backslash \; H\_\{1\}:\backslash mu\backslash neq\backslash mu\_\{0\}\; \backslash end\{cases\}\backslash )\$$

On pourrait utiliser $\$\backslash (\backslash overline\{X\}-\backslash mu\_0\backslash )\$$ (ou $\$\backslash (\backslash overline\{X\}\backslash )\$$) comme statistique de test, malheureusement sa loi dépend du paramètre $\$\backslash (\backslash sigma\backslash )\$$ inconnu, c'est pourquoi on utilise :

$\$\backslash [T=\backslash sqrt\{n\}\; \backslash frac\{\backslash overline\{X\}-\backslash mu\_\{0\}\}\{S^\backslash prime\}\backslash ]\$$

On a sous $\$\backslash (H\_\{0\}\backslash )\$$ :

$\$\backslash [T\backslash sim\backslash mathcal\{T\}\backslash left(\; n-1\backslash right)\backslash ]\$$

Les régions critiques au niveau $\$\backslash (\backslash alpha\backslash )\$$ sont :

1.   $\$\backslash (W=\backslash left\backslash \{\; T>t\_\{n-1,1-\backslash alpha\}\backslash right\backslash \}\; \backslash )\$$.

2.   .

3.   $\$\backslash (W=\backslash left\backslash \{\; \backslash left|\; T\backslash right|\; >t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\backslash right\backslash \}\; \backslash )\$$.

On constate bien ici que la forme de la région critique est donnée par l'hypothèse alternative $\$\backslash (H\_1\backslash )\$$.

Les p-valeurs sont :

1.  $\$\backslash (\backslash mathbb\{P\}\backslash left(\; \backslash mathcal\{T\}\backslash left(\; n-1\backslash right)\; \backslash geq\backslash sqrt\{n\}\; \backslash frac\{\backslash overline\{x\}-\backslash mu\_\{0\}\}\{s\}\backslash right)\; \backslash )\$$.

2.  $\$\backslash (\backslash mathbb\{P\}\backslash left(\; \backslash mathcal\{T\}\backslash left(\; n-1\backslash right)\; \backslash leq\backslash sqrt\{n\}\; \backslash frac\{\backslash overline\{x\}-\backslash mu\_\{0\}\}\{s\}\backslash right)\; \backslash )\$$.

3.  $\$\backslash (\backslash mathbb\{P\}\backslash left(\; \backslash left|\; \backslash mathcal\{T\}\backslash left(\; n-1\backslash right)\backslash right|\; \backslash geq\backslash sqrt\{n\}\; \backslash frac\{\backslash overline\{x\}-\backslash mu\_\{0\}\}\{s\}\backslash right)=2\backslash ,\; \backslash mathbb\{P\}\backslash left(\; \backslash mathcal\{T\}\backslash left(\; n-1\backslash right)\; \backslash geq\backslash sqrt\{n\}\; \backslash frac\{\backslash overline\{x\}-\backslash mu\_\{0\}\}\{s\}\backslash right)\; \backslash )\$$.

Le coin R : exemple de la consommation d'essence

On teste :

$\$\backslash [\backslash begin\{cases\}H\_\{0\}:\backslash mu=\backslash mu\_\{0\}\backslash \backslash H\_\{1\}:\backslash mu\backslash neq\backslash mu\_\{0\}\backslash end\{cases\}\backslash ]\$$

avec  $\$\backslash (\backslash mu\_0\; =\; 31\backslash )\$$

Pour $\$\backslash (\backslash alpha\; =\; 5\%\backslash )\$$ , on a :

•  $\$\backslash (t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}=t\_\{127,0.975\}\backslash simeq\; 1.97\backslash )\$$

•  $\$\backslash (\backslash left\backslash vert\backslash sqrt\{n\}\backslash \; \backslash frac\{\backslash overline\{x\}-\backslash mu\_\{0\}\}\{s^\backslash prime\}\backslash right\backslash vert\backslash simeq\backslash left\backslash vert\backslash sqrt\{128\}\backslash \; \backslash frac\{31.45-31\}\{2.16\}\backslash right\backslash vert\backslash simeq\; 2.35\backslash \; .\backslash )\$$

On rejette $\$\backslash (H\_0\backslash )\$$ au niveau de test 5% car :

$\$\backslash [\backslash left\backslash vert\backslash sqrt\{n\}\backslash \; \backslash frac\{\backslash overline\{x\}-\backslash mu\_\{0\}\}\{s^\backslash prime\}\backslash right\backslash vert=2.35>1.97\backslash simeq\; t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\backslash \; .\backslash ]\$$

La p-valeur vaut :
 

On constate qu’on rejette bien l’hypothèse nulle au niveau de test 5% ( $\$\backslash (0.02\backslash lt0.05\backslash )\$$ ) mais pas au niveau de test 1% ( $\$\backslash (0.02\backslash geq0.05\backslash )\$$ )

En pratique, le data analyst peut utiliser la commande  t.test  pour résoudre ce test :

alpha <- 0.05
t.test(essence$conso,mu=31,alternative="two.sided")

## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis: mean = 31
## 
## Alternative Hypothesis: True mean is not equal to 31
## 
## Test Name: One Sample t-test
## 
## Estimated Parameter(s): mean of x = 31.44945
## 
## Data: essence$conso
## 
## Test Statistic: t = 2.354358
## 
## Test Statistic Parameter: df = 127
## 
## P-value: 0.02008833
## 
## 95% Confidence Interval: LCL = 31.07169
## UCL = 31.82722

Tester la variance (théorique) d'un échantillon

Supposons que nous ayons à disposition un échantillon i.i.d de loi $\$\backslash (\backslash mathcal\{N\}\backslash left(\backslash mu,\backslash sigma^2\backslash right)\backslash )\$$, ou un grand échantillon i.i.d quelconque (en pratique de taille supérieure à 30).
On considère les tests suivants :

1. $\$\backslash (\backslash begin\{cases\}\; H\_\{0\}:\backslash sigma^\{2\}=\backslash sigma\_\{0\}^\{2\}\backslash \backslash \; H\_\{1\}:\backslash sigma^\{2\}>\backslash sigma\_\{0\}^\{2\}\; \backslash end\{cases\}\backslash )\$$

3. $\$\backslash (\backslash begin\{cases\}\; H\_\{0\}:\backslash sigma^\{2\}=\backslash sigma\_\{0\}^\{2\}\backslash \backslash \; H\_\{1\}:\backslash sigma^\{2\}\backslash neq\backslash sigma\_\{0\}^\{2\}\; \backslash end\{cases\}\backslash )\$$

On utilise comme statistique de test :

$\$\backslash [K=\backslash left(\; n-1\backslash right)\; \backslash frac\{S^\{\backslash prime\; 2\}\}\{\backslash sigma\_\{0\}^\{2\}\}\backslash ]\$$

On a sous $\$\backslash (H\_\{0\}\backslash )\$$ :

  $\$\backslash (K\backslash sim\backslash chi^\{2\}(n-1)\backslash )\$$

Les régions critiques au niveau $\$\backslash (\backslash alpha\backslash )\$$ sont :

1.  $\$\backslash (W=\backslash left\backslash \{\; K>\backslash chi\_\{n-1,1-\backslash alpha\}^\{2\}\backslash right\backslash \}\backslash )\$$ .

2.   .

3.   .

De là on tire les p-valeurs...

Le coin R : exemple de la consommation d'essence

Considérons par exemple le test suivant :

$\$\backslash [\backslash begin\{cases\}H\_\{0\}:\backslash sigma^2=\backslash sigma\_\{0\}^2\backslash \backslash H\_\{1\}:\backslash sigma^2\backslash gt\backslash sigma\_\{0\}^2\backslash end\{cases\}\backslash ]\$$

avec $\$\backslash (\backslash sigma\_\{0\}^2=4.5\backslash )\$$ .

En pratique, le data analyst pourra de nouveau utiliser la commande  varTest  issue du package  EnvStats  pour obtenir cet intervalle de confiance :

library(EnvStats)
alpha <- 0.05
varTest(essence$conso,sigma.squared=4.5,alternative="greater")

## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis: variance = 4.5
## 
## Alternative Hypothesis: True variance is greater than 4.5
## 
## Test Name: Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s): variance = 4.66481
## 
## Data: essence$conso
## 
## Test Statistic: Chi-Squared = 131.6513
## 
## Test Statistic Parameter: df = 127
## 
## P-value: 0.3706697
## 
## 95% Confidence Interval: LCL = 3.839436
## UCL = Inf

On ne rejette donc pas l’hypothèse nulle au niveau de test 5%, la p-valeur vaut en effet environ 0.37 (elle n’est évidemment pas inférieure à 0.05).