Initiez-vous à la statistique inférentielle

Le coin méthodologique

Considérons un échantillon i.i.d de loi $\$\backslash (\backslash mathcal\{N\}\backslash left(\backslash mu,\backslash sigma^2\backslash right)\backslash )\$$ , ou un grand échantillon i.i.d non gaussien (en pratique de taille supérieure à 30).

On va retrouver un intervalle de confiance qui fait intervenir les mêmes types de quantité :

• La taille de l'échantillon.

• La dispersion (empirique) de l'échantillon.

• Des quantiles d'une loi de probabilité : pas la loi gaussienne curieusement ici mais une loi proche, celle de Student (cela est dû à la non-connaissance de la variance théorique $\$\backslash (\backslash sigma^2\backslash )\$$ , pour les plus curieux on donne l'argument ci-après).

L'intervalle de confiance bilatère de niveau $\$\backslash (1-\backslash alpha\backslash )\$$ pour $\$\backslash (\backslash mu\backslash )\$$est alors :

$\$\backslash [\backslash left[\backslash overline\{X\}-t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\; \backslash frac\{S^\backslash prime\}\{\backslash sqrt\{n\}\}\; ;\; \backslash overline\{X\}+t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\; \backslash frac\{S^\backslash prime\}\{\backslash sqrt\{n\}\}\backslash right]\backslash ]\$$

où $\$\backslash (t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\backslash )\$$ désigne le quantile d'ordre $\$\backslash (1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash )\$$ de la loi de Student à $\$\backslash (n-1\; \backslash )\$$ degrés de liberté :

$\$\backslash [\backslash mathcal\{T\}(n-1)\backslash ]\$$

Rappelons que $\$\backslash (S^\backslash prime\backslash )\$$ est l'écart type empirique (dans sa version non biaisée) :

$\$\backslash [S^\{\backslash prime\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n-1\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash left(\; X\_\{i\}-\backslash overline\{X\}\backslash right)\; ^\{2\}\}\backslash ]\$$

Pour aller plus loin

Mathématiquement, pour établir l'intervalle de confiance, on aurait pu se baser sur le résultat  probabiliste suivant :

$\$\backslash [\backslash sqrt\{n\}\; \backslash frac\{\backslash overline\{X\}-\backslash mu\}\{\backslash sigma\}\backslash sim\backslash mathcal\{N\}(0,1)\backslash ]\$$

Ce résultat est vrai pour un échantillon i.i.d gaussien, ou asymptotiquement vrai pour un grand échantillon (via le théorème de la limite centrale, le fameux TCL).

Ce résultat fait intervenir l'écart-type théorique, $\$\backslash (\backslash sigma\backslash )\$$ , inconnu, l'idée est alors de remplacer cet écart-type théorique inconnu par l'empirique, $\$\backslash (S^\{\backslash prime\}\backslash )\$$ , on obtient alors une loi de Student (à $\$\backslash (\; n-1\backslash )\$$ degrés de liberté) :

$\$\backslash [\backslash sqrt\{n\}\; \backslash frac\{\backslash overline\{X\}-\backslash mu\}\{S^\backslash prime\}\backslash sim\backslash mathcal\{T\}\backslash left(\; n-1\backslash right)\backslash ]\$$

On peut alors facilement encadrer notre statistique de la manière suivante :

$\$\backslash [\backslash mathbb\{P\}\backslash left(\; -t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\backslash leq\backslash sqrt\{n\}\; \backslash frac\{\backslash overline\{X\}-\backslash mu\}\{S^\backslash prime\}\backslash leq\; t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\backslash right)\; =1-\backslash alpha\backslash ]\$$

Il faut noter ici qu'on a, pour une loi de Student :

$\$\backslash [-t\_\{n-1,\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}=-t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\backslash ]\$$

cette loi étant symétrique.

On déduit de cet encadrement le suivant (par simples équivalences) :

$\$\backslash [\backslash mathbb\{P\}\backslash left(\; \backslash overline\{X\}-t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\; \backslash frac\{S^\backslash prime\}\{\backslash sqrt\{n\}\}\backslash leq\backslash mu\backslash leq\backslash overline\{X\}+t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}\; \backslash frac\{S^\backslash prime\}\{\backslash sqrt\{n\}\}\backslash right)\; =1-\backslash alpha\backslash ]\$$

d'où l'intervalle de confiance donné précédemment.

Le coin R : consommation d'essence

Si on souhaite encadrer la consommation d’essence moyenne (théorique) μ avec une probabilité de 95%, on obtient alors comme intervalle de confiance (  $\$\backslash (t\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}=t\_\{127,0.975\}\backslash simeq\; 1.97\backslash )\$$  et  $\$\backslash (s^\{\backslash prime\}\backslash simeq\; 2.16\backslash )\$$ )

$\$\backslash [\backslash left[31.45-1.97\backslash \; \backslash frac\{2.16\}\{\backslash sqrt\{128\}\}\backslash \; ;\; \backslash \; 31.45+1.97\backslash \; \backslash frac\{2.16\}\{\backslash sqrt\{128\}\}\backslash right]\backslash ]\$$

Remarquons ici que l’hypothèse gaussienne n’était pas obligatoire ici, en effet l’échantillon est de taille suffisamment importante (supérieure à 30).

Si on lance “manuellement” les calculs au niveau de test 5% :

alpha <- 0.05
icinf <- xbar-qt(p=1-alpha/2,df=n_essence-1)*sprime/sqrt(n_essence)
round(icinf,digits=2)
## [1] 31.07

icsup <- xbar+qt(p=1-alpha/2,df=n_essence-1)*sprime/sqrt(n_essence)
round(icsup,digits=2)
## [1] 31.83

On obtient alors :

$\$\backslash [\backslash left[31.07\backslash \; ;\backslash \; 31.83\backslash right]\backslash ]\$$

En pratique, le data analyst peut utiliser la commande  t.test  pour obtenir cet intervalle de confiance :

alpha <- 0.05
t.test(essence$conso,conf.level=1-alpha)

##
## One Sample t-test
##
## data: essence$conso
## t = 164.74, df = 127, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 31.07169 31.82722
## sample estimates:
## mean of x
## 31.44945