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Mis à jour le 25/04/2019

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Expérience aléatoire et univers

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont toutes les issues possibles, tous les résultats possibles sont connus à l'avance, sans que l'on puisse prédire quel en sera finalement le résultat.

Exemple

Quand on lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6, on connaît à l'avance les 6 issues possibles de l'expérience, mais il nous est impossible de savoir, à l'avance, quel sera le résultat du lancer. Idem quand on joue à pile ou face avec une pièce.

Définition

L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire est ce que l'on appelle l'univers de l'expérience ou encore l'ensemble fondamental. Il sera en général symbolisé par la lettre grecque majuscule  $\(\Omega\)$ .

Exemple

Quel ensemble constitue l'univers dans notre exemple de lancer de dé ?

Dans notre exemple de lancer de dé, nous aurons :

$\(\Omega = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}\)$  .

Cet ensemble est l'univers associé à notre expérience aléatoire.

Définition de l'ensemble des parties d'un ensemble

Voyons maintenant une notion mathématique relative aux ensembles qui est peut-être nouvelle pour vous.

En mathématiques, étant donné un ensemble fini, qu'appelle-t-on l'ensemble des parties de cet ensemble ?

Et bien, il s'agit tout simplement de l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble.

Considérons par exemple l'ensemble suivant :

  $\(E = \left\{a, b, c\right\}\)$

Quel est l'ensemble des parties de cet ensemble E ?

Nous avons par exemple tous les sous-ensembles qui contiennent un seul élément, que l'on appelle des singletons :

  $\(\left\{ a\right\}, \left\{b\right\}, \left\{c \right\}\)$

Il y a les sous-ensembles contenant une paire d'éléments, c'est-à-dire deux éléments :

$\(\left\{a, b\right\}, \left\{a, c\right\}, \left\{b, c\right\}\)$

Sans oublier les sous-ensembles ne contenant respectivement aucun élément, c'est l'ensemble vide, et tous les éléments, c'est l'ensemble  $\(E\)$ :

 $\(\emptyset , \left\{a, b, c \right\}\)$

Ainsi, l'ensemble des parties de notre ensemble $\(E\)$ , que l'on notera $\(\mathscr{P}(E)\)$ dans l'usage, est l'ensemble qui contient tous ces sous-ensembles :

Événements et espace probabilisable

Étude d'un exemple

Maintenant que nous savons ce qu'est l'ensemble des parties d'un ensemble, revenons à l'ensemble des résultats possibles de notre expérience aléatoire du lancer de dé. Nous avons défini l'univers de cette expérience dans la section 1 :

 $\(\Omega = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}\)$

Quel est l'ensemble des parties de $\(\Omega\)$ que l'on noterait $\(\mathscr{P}(\Omega)\)$ ?

Pour déterminer $\( \mathscr{P}(\Omega)\)$ , il faut considérer, outre les sous-ensembles que sont l'ensemble vide et $\(\Omega\)$ lui-même, tous les singletons comme  $\(\left\{1\right\}, \left\{2\right\}\)$ , etc., puis les sous-ensembles à deux, trois, quatre et cinq éléments de $\(\Omega\)$ .

Ainsi, l'ensemble des parties de l'ensemble $\(\Omega\)$ , univers de notre expérience aléatoire, est ce que l'on appellera l'ensemble des événements de cette expérience aléatoire. C'est plus exactement une tribu d'événements associée à notre expérience aléatoire.

Et chaque élément de l'ensemble $\(\mathscr{P}(\Omega)\)$ , par définition un sous-ensemble de  $\(\Omega\)$, est ce que l'on appellera un événement.

Dans notre exemple, l'un des sous-ensembles de $\(\Omega\)$ est l'ensemble  $\(A= \left\{1, 3, 5\right\}\)$. En tant que sous-ensemble de $\( \Omega\)$ , $\(A\)$ est un élément de  $\(\mathscr{P}(\Omega)\)$ . C'est un événement de notre expérience aléatoire. C'est l'événement "Obtenir un nombre impair".

Un autre exemple serait l'événement  $\(B = \left\{3, 6\right\}\)$. Également sous-ensemble de $\(\Omega \)$ et appartenant à $\(\mathscr{P}(\Omega)\)$ , $\(B \)$ serait l'événement "obtenir un multiple de 3".

Généralisation

Généralisons à partir de cet exemple :

Pour aller plus loin

Quand $\(\Omega\)$ est un ensemble dénombrable, $\(\mathscr{P}(\Omega)\)$ peut toujours être considéré comme une tribu d'événements qu'on peut lui  associer pour former l'espace probabilisable $\((\Omega, \mathscr{P}(\Omega))\)$ .

Par contre, lorsque $\(\Omega\)$ n'est pas dénombrable,  $\(\mathscr{P}(\Omega)\)$ n'a pas toujours les propriétés mathématiques nécessaires pour être considéré comme une tribu d'événements et former un espace probabilisable avec $\(\Omega\)$ .

En réalité, un sous-ensemble $\(\mathscr{T}\)$ de $\( \mathscr{P}(\Omega)\)$ ne peut être considéré comme une tribu d'événements que s'il vérifie les trois points suivants :

Le premier point est une condition nécessaire. Un sous-ensemble de  $\(\mathscr{P}(\Omega)\)$ ne peut être une tribu d'événements que s'il contient $\(\Omega\)$ .

Le deuxième point, autre condition nécessaire,  est ce que l'on appelle la stabilité de $\(\mathscr{T}\)$ par passage au complémentaire. Cela signifie que, pour un élément $\(A \)$ de $\(\mathscr{T}\)$ qui, remarquons-le au passage, est un ensemble, l'ensemble complémentaire noté  $\(\bar{A} \)$ doit également et impérativement appartenir à $\(\mathscr{T}\)$ .

Enfin, le troisième point, que l'on appelle la stabilité par union, signifie que l'union de toute suite d'éléments de  $\(\mathscr{T}\)$ doit appartenir à  $\(\mathscr{T}\)$ .

Exemple

Si on reprend l'exemple du lancer de dé avec :

 $\(\Omega = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\} \)$

Comme $\(\Omega\)$ est un ensemble fini, donc dénombrable,  $\(\mathscr{P}(\Omega)\)$ , l'ensemble des parties de $\(\Omega\)$ est bien une tribu d'événements que l'on peut lui associer pour former un espace probabilisable.

Opérations sur les événements

Avec l'idée qu'un événement n'est autre chose qu'un sous-ensemble de  $\(\Omega\)$ , il paraît naturel de considérer des unions et des intersections d'événements.

Définition des opérations à partir d'un exemple

Reprenons les deux exemples d'événements dans l'expérience du lancer de dé.

L'événement $\(A \)$ , "Obtenir un nombre impair", est réalisé chaque fois que l'une des issues du sous-ensemble $\(A = \left\{1, 3, 5\right\}\)$ est obtenue.

Idem pour l'événement B, "Obtenir un multiple de 3", avec $\( B = \left\{3, 6\right\}\)$ .

Mais est-ce que vous voyez quel serait l'événement $\(A \cap B\)$ ?

 $\(A \cap B\)$ , qui se lit "A intersection B" ou encore "A inter B", est le sous-ensemble de  $\(\Omega\)$ qui contient les éléments qui sont à la fois dans $\(A \)$ et dans $\(B\)$ . Nous avons :

 $\(A \cap B = \left\{3\right\}\)$

 $\(A \cup B\)$ , quant à lui, qui se lit "A union B", est le sous-ensemble de  $\(\Omega\)$ qui contient les éléments qui sont soit dans $\(A \)$ , soit dans $\(B\)$ . Nous avons, dans le cas de nos exemples d’événements $\(A \)$ et $\(B \)$ :
 
 $\(A \cup B = \left\{1, 3, 5, 6\right\}\)$ 

N'oublions pas de définir ce que l'on appelle un événement contraire. Pour un événement $\(A \)$ donné, sous-ensemble de $\(\Omega\)$ , l'événement contraire de $\(A\)$ , noté $\(\bar{A}\)$ ,  est un autre sous-ensemble qui contient tous les éléments de  $\(\Omega\)$ qui ne sont pas dans $\(A\)$ . C'est ce que l'on appelle l'ensemble complémentaire de $\(A \)$ dans \Omega.

Dans notre exemple de lancer de dé, l'événement $\(A\)$ "obtenir un nombre impair" qui s'écrit sous forme d'ensemble $\(A = \left\{1, 3, 5\right\}\)$ a pour événement contraire "obtenir un nombre pair'' . Ce sous-ensemble s'écrit :  $\(\bar{A} = \left\{2, 4, 6\right\} \)$

Exemple de certificat de réussite
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