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Mis à jour le 25/04/2019

Déterminez la loi de probabilité d'une Variable Aléatoire Discrète (VAD)

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Loi de probabilité d'une Variable Aléatoire Discrète (VAD)

Rappel

Au chapitre précédent, nous avons défini le support d'une variable aléatoire comme l'ensemble des valeurs que cette variable aléatoire peut prendre.

Nous avons également vu la notation $\([X = x_k]\)$ pour un événement où $\(x_k\)$ est une valeur de $\(X(\Omega)\)$ .

Définition

Soit $\(X \)$ une variable aléatoire discrète. Admettons que le support de $\(X \)$ s'écrive :

$\(X(\Omega) = \left\{x_k , k \in \mathbb{N} \right\}\)$

Alors, définir la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète $\(X \)$ , c'est déterminer la probabilité des événements $\([X = x_k]\)$ pour chacune des valeurs $\(x_k\)$ de $\(X(\Omega)\)$ .

Exemple

Reprenons notre exemple où on lance un dé équilibré trois fois de suite avec $\(X \)$ la variable aléatoire qui indique le nombre de faces paires obtenues. Nous avions construit le support suivant pour $\(X \)$ :

 $\(X(\Omega) = {[\![0 ; 3]\!]} \)$

 Quelle est la loi de probabilité de $\(X \)$ dans cet exemple ?

Ici, déterminer la loi de probabilité de  $\(X \)$ , c'est déterminer la probabilité des événements $\([X = i]\)$ , pour $\(i \)$ variant de 0 à 3.

On peut, dans les cas appropriés comme celui-ci , exposer la loi de probabilité dans un tableau :

$\(X = i\)$

0

1

2

3

$\(\mathbb P(X=i)\)$

$\(\frac {1}{2^3}\)$

$\(\frac {3}{2^3}\)$

$\(\frac {3}{2^3}\)$

$\(\frac {1}{2^3}\)$

Fonction de répartition d'une VAD

Définition

Soit $\(X \)$ une VAD. On associe à $\(X \)$ une fonction notée $\(F_X\)$ et qui, à tout $\(x \)$ réel, associe comme image $\(\mathbb{P}(X \leq x)\)$ . Cette fonction est définie sur $\( \mathbb{R}\)$ et est à valeur dans $\([ 0 ; 1]\)$ .

Exemple

Reprenons l'exemple de la VAD $\(X \)$ qui indique le nombre de faces paires obtenues lors de trois lancers consécutifs d'un dé équilibré.

Quelle est la fonction de répartition de $\(X\)$ , notée $\(F_X\)$ , dans cet exemple ?

Ici, l'expression de $\(F_X\)$ peut varier selon la valeur de $\(x\)$ :

  • Pour $\(x \)$ dans  $\(] -\infty ; 0 [\)$ , $\(F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X < 0) = 0\)$

  • Pour $\(x \)$ dans $\([0 ; 1[ , F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X=0) = \frac {1}{8}\)$

  • Pour $\(x \)$ dans $\([1 ; 2[ , F_X(x) = \mathbb{P}(X=0) + \mathbb{P}(X=1) = \frac {1}{2}\)$

  • Pour $\(x \)$ dans $\( [2 ; 3[ , F_X(x) = \mathbb{P}(X=0) + \mathbb{P}(X=1) + \mathbb{P}(X=2) = \frac {7}{8}\)$

  • Pour $\(x \)$ dans $\([3 ; +\infty[ , F_X(x) = \mathbb{P}(X=0) + \mathbb{P}(X=1) + \mathbb{P}(X=2) + \mathbb{P}(X=3) = 1\)$

Connaître les propriétés caractéristiques d'une fonction de répartition d'une VAD

La définition que nous venons de voir implique des propriétés caractéristiques pour toute fonction de répartition $\(F_X\)$ d'une VAD $\(X\)$ .

Toute fonction dotée de ces propriétés, qui naturellement en impliquent d'autres, peut être la fonction de répartition d'une VAD.

Espérance d'une VAD

Définition

Étant donné une VAD $\(X\)$ de support fini $\(X(\Omega)\)$, ce que l'on appelle l'espérance de $\(X\)$ , c'est la moyenne des valeurs que $\(X \)$ peut prendre avec, comme pondération pour chacune d'entre elles, la probabilité qu'elle prenne cette valeur.

Autrement dit, dans le cas où le support d'une VAD est fini, on calcule son espérance comme on calculerait la moyenne pondérée d'une série de valeurs quelconques. Dans le cas où le support de la VAD serait $\(X(\Omega) = \left\{ x_k, k \in {[\![1 ; n]\!]} \right\}\)$ , nous aurions :

Pour aller plus loin : le cas où le support est infini

Convergence absolue d'une série

On appelle série de terme général $\( (u_n)\)$ la suite $\((\sum_{i=0}^n{u_n})_{n \in \mathbb{N}}\)$ .

Cette série est dite absolument convergente, si la limite suivante est finie :

 $\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\sum_{i=0}^n|{u_n}|}\)$

On dira alors que la série de terme général $\( (u_n)\)$ a pour somme cette limite finie.

Existence

Si $\(X \)$ est une VAD de support infini, par exemple si  $\(X(\Omega) = \left\{x_k, k \in \mathbb{N} \right\}\)$ , alors X admet une espérance si la série de terme général $\(x_k \times \mathbb{P}(X=x_k) \)$  est absolument convergente. Dans ce cas, l'espérance de $\(X \)$ est le réel défini par :

  $\(\mathbb{E}(X)= \sum_{x_k \in X(\Omega)}{x_k \times P(X=x_k)}\)$

Variance d'une VAD

Définition

Reprenons la VAD $\(X \)$ de support fini  $\(X(\Omega) = \left\{ x_k, k \in \mathbb {N}\right\}\)$ . La variance de  $\(X\)$  est la moyenne des carrés des écarts des valeurs $\(x_i \)$ à l'espérance de $\(X\)$ , avec à nouveau comme pondération la probabilité de l'événement  $\([X=x_i]\)$ :

 $\(V(X) = \sum_{k=1}^{n}{(x_k - E(X))^2 \times P(X=x_k)}\)$

En pratique

En réalité, dans les exercices, on utilisera souvent le théorème suivant pour calculer la variance :

On se réfère souvent à cette égalité, comme la formule de Koenig-Huygens.

Pour aller plus loin : le cas où le support est infini

Dans le cas où le support est infini, l'existence de la variance est liée à la convergence absolue de la série de terme général $\({x_k}^2 \times \mathbb{P}(X=x_k)\)$ .

Sous condition d'existence de la variance, on pourra alors utiliser la formule de Koenig-Huygens.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite