Les lois uniformes
Définition de la loi uniforme sur [a;b] , avec b>a
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a;b] , notée U[a;b] si X a pour densité la fonction f définie par :
f(x)=1b−a si x∈[a;b] et f(x)=0 , sinon.
Il s'agit d'une fonction constante sur [a;b] .
Support
On peut considérer que le support d'une telle variable aléatoire est l'intervalle [a;b] .
Fonction de répartition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi U[a;b] est la fonction FX définie, pour tout x , par : {0six<ax−ab−asia≤x≤b1six>b
Notation
On dira que X suit la loi uniforme sur [[1;n]] . On notera : X↪U[[1;n]]
Les lois exponentielles
Définition de la loi exponentielle de paramètre λ , avec λ>0
Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ notée E(λ) , si une densité de X est la fonction définie par :
f(x)={0six<0λe−λxsix≥0
Support
On peut considérer que le support d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est R+ .
Notation
On dira que X suit la loi exponentielle de paramètre λ . On notera : X↪E(λ)
Fonction de répartition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi E(λ) est la fonction FX définie, pour tout réel x, par :
FX(x)={0six<01−e−λxsix≥0
Les lois normales de paramètres m et σ2 , avec σ0
Définition
Une variable aléatoire X suit la loi N(m , σ2) si elle admet comme densité la fonction ϕm,σ , définie, pour tout x réel, par :
ϕm,σ(x)=1σ√2πe−(x−m)22σ2
Support
Le support de X est R .
Notation
Pour signifier qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m et σ2 , on écrira :
X↪N(m,σ2)
Fonction de répartition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi N(m,σ2) est la fonction notée Φm,σ , définie, pour tout x réel, par :
Φ(m,σ2)(x) = 1σ√2π∫x−∞e−(t−m)22σ2dt
Loi normale centrée réduite
À noter le cas particulier très important où m=0 et σ=1 . Avec ces paramètres, la loi normale sera dite centrée réduite.
