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  • Moyenne

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J'ai tout compris !

Mis à jour le 08/09/2022

Familiarisez-vous avec quelques lois usuelles continues

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Les lois uniformes

Définition de la loi uniforme sur [a;b] , avec b>a

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur  [a;b] , notée  U[a;b] si X a pour densité la fonction f définie par :

 f(x)=1ba si x[a;b] et f(x)=0 , sinon.

Il s'agit d'une fonction constante sur [a;b] .

Support

On peut considérer que le support d'une telle variable aléatoire est l'intervalle [a;b] .

Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi U[a;b] est la fonction FX définie, pour tout x , par : {0six<axabasiaxb1six>b

Notation

On dira que X suit la loi uniforme sur [[1;n]] . On notera : XU[[1;n]]

Les lois exponentielles

Définition de la loi exponentielle de paramètre λ , avec λ>0

Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ notée E(λ) , si une densité de X est la fonction définie par :

f(x)={0six<0λeλxsix0

Support

On peut considérer que le support d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est R+ .

Notation

On dira que X suit la loi exponentielle de paramètre λ . On notera : XE(λ)

Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi E(λ)  est la fonction FX définie, pour tout réel x, par :

 FX(x)={0six<01eλxsix0

Les lois normales de paramètres m et σ2 , avec σ0

Définition

Une variable aléatoire X suit la loi N(m , σ2) si elle admet comme densité la fonction ϕm,σ , définie, pour tout x réel, par :

ϕm,σ(x)=1σ2πe(xm)22σ2

Support

Le support de X est R .

Notation

Pour signifier qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m et σ2 , on écrira :

  XN(m,σ2)

Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi N(m,σ2)  est la fonction notée Φm,σ , définie, pour tout x réel, par :

  Φ(m,σ2)(x) = 1σ2πxe(tm)22σ2dt

 Loi normale centrée réduite

À noter le cas particulier très important où m=0 et σ=1 . Avec ces paramètres, la loi normale sera dite centrée réduite.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite