• 12 heures
  • Moyenne

Ce cours est visible gratuitement en ligne.

course.header.alt.is_video

course.header.alt.is_certifying

J'ai tout compris !

Mis à jour le 25/04/2019

Apprenez à calculer une probabilité

Connectez-vous ou inscrivez-vous gratuitement pour bénéficier de toutes les fonctionnalités de ce cours !

Faites vous accompagner pour apprendre le métier de data architect avec la formation architecture big data.

Introduction

Au chapitre précédent, nous avons présenté une expérience aléatoire comme une expérience dont toutes les issues sont connues à l'avance, sans que l'on sache laquelle d'entre elles sera effectivement réalisée.

Dans ce contexte, il est naturel de vouloir évaluer, quantifier, pour chacune de ces issues, la chance de se produire.

L'outil qui permet cette évaluation est l'application Probabilité.

Rappels

Reprenons le couple $\((\Omega, \mathscr{T})\)$ introduit au chapitre précédent et que l'on appelle espace probabilisable d'une expérience aléatoire, où $\(\Omega\)$ est l'ensemble des résultats possibles, et $\(\mathscr{T}\)$ une tribu d'événements associés à cette expérience. Nous avons vu que, lorsque $\(\Omega\)$ est fini, l'ensemble des parties de $\(\Omega, \mathscr{P}(\Omega)\)$ peut toujours être considéré comme une tribu d'événements.

Définition

On appelle probabilité toute application $\(\mathbb{P} \)$ de  $\(\mathscr{T}\)$ dans l'intervalle $\([0;1]\)$ , où  $\(\mathscr{T}\)$ est une tribu d'événements vérifiant  $\(\mathbb{P} (\Omega) = 1\)$ , et telle que, pour tout couple $\( (A, B)\)$ d'événements disjoints :

 $\(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\)$

Elle permet d'associer, à chaque événement de notre expérience aléatoire, un réel compris entre $\(0 \)$ et $\(1\)$ , ce réel quantifiant la chance pour cet événement de se produire.

Ainsi, en munissant notre espace probabilisable, le couple $\((\Omega, \mathscr{T})\)$ , de l'application $\(\mathbb{P}\)$ , nous obtenons le triplet $\((\Omega, \mathscr{T}, \mathbb{P})\)$ , appelé espace probabilisé.

Le cas particulier de l'équiprobabilité

Exemple

Reprenons l'exemple du lancer de dé. Sans aucune connaissance spécifique en mathématiques, chacun peut aisément et intuitivement comprendre que, dans le cadre de cette expérience dont les issues sont les nombres entiers de 1 à 6, la probabilité de l'événement obtenir $\(4 \)$ vaut $\(\frac{1}{6}\)$ . Pourquoi ?

Définition du cardinal d'un ensemble fini

Introduisons à nouveau une notion mathématique liée aux ensembles. Tout d'abord, rappelons qu'un ensemble est dit fini quand il contient un nombre fini d'éléments, comme l'ensemble $\(\Omega\)$ de notre expérience aléatoire de lancer de dé.

On appelle cardinal d'un ensemble fini le nombre d'éléments qu'il contient. Ce nombre est un nombre entier que l'on notera en général n.

Ainsi, pour notre exemple, le cardinal de $\(\Omega\)$ est $\(6\)$ . C'est le nombre d'éléments qu'il contient.

Équiprobabilité

Dans le contexte d'une expérience aléatoire, dont l'univers $\(\Omega\)$ contient un nombre fini d'éléments, les issues de cette expérience sont équiprobables si l'on considère qu'elles ont toutes la même probabilité, la même chance de se réaliser.

C'est le cas pour le lancer d'un dé à 6 faces. Si ce dé n'est pas truqué, chaque face aura a priori la même chance d'apparaître.

Ainsi, dans le contexte d'une expérience aléatoire dont les issues sont équiprobables et dont l'univers $\(\Omega\)$ a pour cardinal $\(n\)$ , la probabilité d'un événement $\(A\)$ est définie comme suit :

 $\(\mathbb{P}(A) = \frac{Cardinal (A)}{Cardinal (\Omega)} \)$

On pourra utiliser pour notation $\(Cardinal (A) = |A|\)$ .

Exemple

Si on reprend les événements $\(A \)$ "Obtenir un nombre impair", et $\(B\)$ "Obtenir un multiple de 3" de notre exemple de lancer de dé, sous forme de sous-ensembles, ces événements s'écrivent :

 $\(A = \left\{1, 3, 5\right\}\)$   et   $\( B = \left\{3, 6\right\}\)$

Ainsi, par application de la définition de la probabilité pour une expérience dont l'univers est fini, et en cas d'équiprobabilité, nous aurons :

 $\(\mathbb{P}(A) = \frac{Cardinal (A)}{Cardinal (\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)$

 $\(\mathbb{P}(B) = \frac{Cardinal (B)}{Cardinal (\Omega)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)$

Quelques propriétés de la probabilité

Comme indiqué dans la définition même de la probabilité, pour deux événements $\(A \)$ et $\(B\)$ incompatibles, c'est-à-dire qui ne peuvent se réaliser tous les deux à la fois, nous avons :

 $\(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) \)$

Par ailleurs, pour l'événement $\(\bar{A}\)$ , événement contraire de $\(A\)$ , nous aurons :

 $\(\mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}({A})\)$

Enfin, notons que l'événement certain a pour probabilité 1, tandis que son événement contraire, qui n'est autre que l'événement impossible, est de probabilité nulle.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite