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Introduction
Au chapitre précédent, nous avons présenté une expérience aléatoire comme une expérience dont toutes les issues sont connues à l'avance, sans que l'on sache laquelle d'entre elles sera effectivement réalisée.
Dans ce contexte, il est naturel de vouloir évaluer, quantifier, pour chacune de ces issues, la chance de se produire.
L'outil qui permet cette évaluation est l'application Probabilité.
Rappels
Reprenons le couple introduit au chapitre précédent et que l'on appelle espace probabilisable d'une expérience aléatoire, où est l'ensemble des résultats possibles, et une tribu d'événements associés à cette expérience. Nous avons vu que, lorsque est fini, l'ensemble des parties de peut toujours être considéré comme une tribu d'événements.
Définition
On appelle probabilité toute application de dans l'intervalle , où est une tribu d'événements vérifiant , et telle que, pour tout couple d'événements disjoints :
Elle permet d'associer, à chaque événement de notre expérience aléatoire, un réel compris entre et , ce réel quantifiant la chance pour cet événement de se produire.
Ainsi, en munissant notre espace probabilisable, le couple , de l'application , nous obtenons le triplet , appelé espace probabilisé.
Le cas particulier de l'équiprobabilité
Exemple
Reprenons l'exemple du lancer de dé. Sans aucune connaissance spécifique en mathématiques, chacun peut aisément et intuitivement comprendre que, dans le cadre de cette expérience dont les issues sont les nombres entiers de 1 à 6, la probabilité de l'événement obtenir vaut . Pourquoi ?
Définition du cardinal d'un ensemble fini
Introduisons à nouveau une notion mathématique liée aux ensembles. Tout d'abord, rappelons qu'un ensemble est dit fini quand il contient un nombre fini d'éléments, comme l'ensemble de notre expérience aléatoire de lancer de dé.
On appelle cardinal d'un ensemble fini le nombre d'éléments qu'il contient. Ce nombre est un nombre entier que l'on notera en général n.
Ainsi, pour notre exemple, le cardinal de est . C'est le nombre d'éléments qu'il contient.
Équiprobabilité
Dans le contexte d'une expérience aléatoire, dont l'univers contient un nombre fini d'éléments, les issues de cette expérience sont équiprobables si l'on considère qu'elles ont toutes la même probabilité, la même chance de se réaliser.
C'est le cas pour le lancer d'un dé à 6 faces. Si ce dé n'est pas truqué, chaque face aura a priori la même chance d'apparaître.
Ainsi, dans le contexte d'une expérience aléatoire dont les issues sont équiprobables et dont l'univers a pour cardinal , la probabilité d'un événement est définie comme suit :
On pourra utiliser pour notation .
Exemple
Si on reprend les événements "Obtenir un nombre impair", et "Obtenir un multiple de 3" de notre exemple de lancer de dé, sous forme de sous-ensembles, ces événements s'écrivent :
et
Ainsi, par application de la définition de la probabilité pour une expérience dont l'univers est fini, et en cas d'équiprobabilité, nous aurons :
Quelques propriétés de la probabilité
Comme indiqué dans la définition même de la probabilité, pour deux événements et incompatibles, c'est-à-dire qui ne peuvent se réaliser tous les deux à la fois, nous avons :
Par ailleurs, pour l'événement , événement contraire de , nous aurons :
Enfin, notons que l'événement certain a pour probabilité 1, tandis que son événement contraire, qui n'est autre que l'événement impossible, est de probabilité nulle.
