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J'ai tout compris !

Mis à jour le 19/05/2023

Apprenez à utiliser quelques lois usuelles discrètes

Rappel

Nous avons vu dans les chapitres précédents ce que l'on appelle la loi de probabilité d'une variable aléatoire.

Nous avons par exemple expliqué que définir la loi de probabilité d'une VAD $\(X \)$ , c'est déterminer la probabilité des événements $\((X=x_k)\)$ pour toutes les valeurs $\(x_k \)$ du support de $\(X\)$ .

Les lois usuelles

En pratique, dans les exercices, les lois de probabilités de certaines variables aléatoires seront connues à l'avance. Ou, dans certains cas, nous saurons reconnaître des situations caractéristiques de variables aléatoires suivant une certaine loi de probabilité.

Dans un cas comme dans l'autre, cela nous donnera le support de la variable aléatoire ainsi que l'expression de sa loi de probabilité, s'il s'agit d'une VAD, ou bien l'expression de sa fonction de répartition ou de sa densité de probabilité, s'il s'agit d'une VAC.

Quelques lois discrètes finies

Loi uniforme

Situation caractéristique

La probabilité que la variable aléatoire $\(X \)$ prenne chacune des valeurs de son support est identique, autrement dit, il y a équiprobabilité.

Support

Le support d'une VAD suivant une loi uniforme est de type $\({[\![m;n]\!]}\)$ , avec $\(m \)$ et $\(n \)$  des entiers quelconques vérifiant $\(m < n\)$ .

L'expression de la loi

Alors $\(\forall k \in X(\Omega)\)$ , $\(\mathbb{P}(X=k) = \frac{1}{|\Omega|}=\frac{1}{n-m+1}\)$

Rappelons que le $\(|\Omega|\)$ ,  lire cardinal de Omega, c'est le nombre d'éléments que l'ensemble $\(\Omega\)$ comporte.

Par exemple, dans le cas usuel d'une VAD suivant une loi uniforme sur le support $\({[\![1;n]\!]}\)$ , nous aurions, pour tout $\(k \)$ dans  $\({[\![1;n]\!]}\)$ : 

$\(\mathbb{P}(X=k) =\frac{1}{n}\)$

Notation

On dira que $\(X \)$ suit la loi uniforme sur $\({[\![1;n]\!]}\)$ . On notera : $\(X \hookrightarrow \mathscr{U}_{[\![1;n]\!]}\)$

Espérance et variance

L'espérance $\(\mathbb{E}\)$ d'une VAD $\(X\)$ suivant une loi uniforme sur $\({[\![1;n]\!]} \)$ est $\(\mathbb{E}(X)=\frac{n+1}{2}\)$ et la variance $\( \mathbb{V}\)$ d'une telle VAD serait $\(\mathbb{V}(X) = \frac{n^2 -1}{12}\)$ .

Loi de Bernoulli de paramètre p

Situation caractéristique

On considère une épreuve aléatoire à deux issues. L'une est considérée comme le succès, l'autre comme l'échec. C'est ce que l'on appelle une épreuve de Bernoulli.

Par exemple, on lance un dé. On obtient 6, c'est le succès. On n'obtient pas 6, c'est l'échec.

Support

Le support d'une VAD suivant la loi de Bernoulli est $\(X(\Omega) = \left\{0, 1 \right\}\)$ .

La variable aléatoire $\(X\)$  associe 0 comme image à l'issue échec et 1 comme image à l'issue succès.

L'expression de la loi

Si la probabilité du succès est $\(p\)$ , alors nous aurons pour l'expression de la loi de probabilité :

  $\(\mathbb{P}(X=1) = p\)$ et $\(\mathbb{P}(X=0) = 1- p\)$ .

Notation

On dira que $\(X \)$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $\(p\)$ . On notera : $\(X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)\)$

Espérance et variance

Si $\(X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)\)$ , nous aurons  $\(\mathbb{E}(X)=p\)$ et $\(\mathbb{V}(X) = p(1-p)\)$ .

Loi binomiale de paramètres $\(n \)$ et $\(p\)$

Situation caractéristique

On considère à nouveau une épreuve de Bernoulli : épreuve aléatoire à deux issues. L'une est considérée comme le succès, l'autre comme l'échec. Cette fois, on répète cette épreuve de manière identique et indépendante pour obtenir ce que l'on appelle un schéma de Bernoulli. 

Exemple

On reprend l'exemple du dé. On lance ce dé un certain nombre de fois. Disons $\(n \)$ fois, $\(n \)$ étant un entier naturel non nul. On désigne par $\(X \)$ la VAD qui compte le nombre de succès, c'est-à-dire le nombre de fois où on a obtenu un 6.

Support

Le support d'une VAD $\(X \)$ suivant la loi binomiale de paramètres $\(n\)$ et $\(p\)$  est $\(X(\Omega) = {[\![0;n]\!]}\)$ .

En effet, si on interprète $\(X \)$ comme le nombre de succès dans une suite de n épreuves à deux issues, succès et échec, ce nombre peut varier entre $\(0 \)$ et $\(n \)$ en prenant toutes les valeurs entières.

L'expression de la loi

 $\(\forall k \in X(\Omega)\)$ , $\(\mathbb{P}(X=k) =\)$$\(\binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)$

 où $\( \binom{n}{k}\)$ , lire " $\(k \)$ parmi $\(n\)$ " est un coefficient important. C'est un nombre entier. Ce sont les combinaisons de $\(k \)$ parmi $\(n \)$ éléments.

Notation

On dira que $\(X \)$ suit la loi binomiale de paramètres $\(n \)$ et $\(p \)$ . On notera : $\(X \hookrightarrow \mathscr{B}(n, p)\)$

Espérance et variance

Si $\(X \hookrightarrow \mathscr{B}(n ; p)\)$ , nous aurons $\( \mathbb{E}(X)=np\)$ et $\(\mathbb{V}(X) = np(1-p)\)$ .

Quelques lois discrètes infinies

Loi géométrique de paramètre $\(p\)$

Situation caractéristique

On considère à nouveau une épreuve de Bernoulli. Cette fois, on répète cette épreuve de manière identique et indépendante non pas un certain nombre n de fois, mais à l'infini ! Cela est bien sûr une considération théorique.

Dans ce contexte, on considère la variable aléatoire $\(X \)$ qui, à chaque série de lancers, associe comme image le rang du premier succès.

Exemple

On reprend l'exemple du dé. Cette fois, on lance ce dé à l'infini. On désigne par $\(X \)$ la VAD qui indique le rang du premier succès, c'est-à-dire l'indice du lancer auquel on obtient pour la première fois 6.

Si cette série de lancers nous donne comme résultat : 1, 3, 2, 1, 4, 4, 3, 5, 6, 2... alors le rang du premier succès est 9.

Support

Le support d'une VAD X suivant la loi géométrique de paramètre $\(p \)$  est $\(X(\Omega) = \mathbb{N^{*} }\)$ . En effet, si on interprète $\(X \)$ comme le rang du premier succès, ce nombre peut varier entre 1 et l'infini, en prenant toutes les valeurs entières.

L'expression de la loi

$\(\forall k \in X(\Omega)=\)$  $\( \mathbb{N^{*} }\)$ , $\(\mathbb(P)(X=k) = p \times (1-p)^{k-1}\)$

Notation

On dira que $\(X \)$ suit la loi géométrique de paramètre $\(p \)$ . On notera : $\(X \hookrightarrow \mathscr{g}(p)\)$

Espérance et variance

Si $\(X \hookrightarrow \mathscr{g}(p)\)$ , alors $\(X \)$ possède une espérance et une variance, et nous aurons  $\(\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p}\)$ et $\(\mathbb{V}(X) = \frac{1-p}{p^2}\)$ .

Loi de Poisson de paramètre $\(\lambda\)$

Situation caractéristique

Il n'existe pas de situation caractéristique exacte au sens de celles décrites pour les lois que nous venons de voir.

Toutefois, la loi de Poisson est utilisée pour approcher la loi binomiale à certaines conditions.

Également à noter que c'est une loi qui est en général utilisée pour modéliser des événements rares tels que des pannes.

Support

Le support d'une VAD X suivant la loi de Poisson de paramètre $\(\lambda\)$  est  $\(X(\Omega) = \mathbb{N } \)$ .

L'expression de la loi

 $\(\forall k \in X(\Omega)=\)$$\(\mathbb{N }\)$ , $\(\mathbb P(X=k) =\)$$\( \frac{{\lambda}^k}{k!}\)$$\( \times e^{-\lambda}\)$

Notation

On dira que $\(X \)$ suit la loi de Poisson de paramètre $\(\lambda\)$ . On notera : $\(X \hookrightarrow \mathscr{P}(\lambda)\)$

Espérance et variance

Si $\(X \hookrightarrow \mathscr{P}(\lambda)\)$ , alors $\(X \)$ possède une espérance et une variance, et nous aurons  $\(\mathbb{E}(X)= \mathbb{V}(X) = \lambda\)$ .

Exemple de certificat de réussite
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