Maîtrisez les bases des probabilités

Loi d'un couple

Qu'est-ce qu'un couple de variables aléatoires ?

Prenons X et Y , deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisable. Alors (X,Y) est appelé couple de variables aléatoires.

Exemple

Considérons une expérience aléatoire : une urne contient 10 jetons, dont 5 jetons blancs et 5 jetons noirs. On tire successivement et sans remise deux jetons. On définit le couple de VAD (X,Y) suivant : X prend la valeur 0 si le premier jeton est blanc et 1 s'il est noir. De même, Y vaut 0 si le deuxième jeton est blanc et 1 s'il est noir.

Qu'est-ce que la loi d'un couple de variables aléatoires ?

La loi d'un couple (X,Y) de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω,T,P) est donnée par la fonction  F(X,Y) définie sur R2 par :

 ∀(x,y)∈R2,F(X,Y)(x,y)=P([X≤x]∩[Y≤y])

Définition

Deux variables aléatoires X et Y définies sur un espace probabilisé (Ω,T,P) sont indépendantes lorsque, pour tous réels x et y , on a :

P([X≤x]∩[Y≤y])=P([X≤x])×P([Y≤y]) , soit FX,Y(x,y)=FX(x)×FY(y)

Linéarité de l'espérance

Si deux variables aléatoires X et Y admettent chacune une espérance, alors quels que soient les réels a et b , la variable aléatoire aX+bY admet une espérance, et on a :

 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

Espérance d'un produit

Si deux variables aléatoires X et Y admettent chacune une espérance, et que, par ailleurs, elles sont indépendantes, alors la variable aléatoire XY admet une espérance et on a l'égalité :

 E(XY)=E(X)×E(Y)

Comment écrire la loi du couple (X,Y) dans le cas discret

Déterminer la loi du couple  (X,Y) , que l'on appelle par ailleurs également la loi conjointe de X et Y , c'est donner, pour les variables aléatoires discrètes X et Y définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P) , la valeur de la probabilité  P([X=x]∩[Y=y])  pour tout couple (x,y) de X(Ω)×Y(Ω).

Pour démontrer que deux VAD sont indépendantes

Pour démontrer l'indépendance de deux VAD définies sur un même espace probabilisé, il suffit de montrer l'égalité suivante :

 ∀(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω) ,  P([X=x]∩[Y=y])=   P([X=x])×P([Y=y])

Lois marginales

Soit (X,Y) un couple de VAD. Alors les lois marginales de X et Y sont données sous forme de sommes.

Pour la VAD X , nous aurions :

∀xi∈X(Ω),P([X=xi])=∑yi∈Y(Ω)P([Y=yi]∩[X=xi])

Et pour Y :

∀yi∈Y(Ω),P([Y=yi])=∑xi∈X(Ω)P([Y=yi]∩[X=xi])

Exemple simple de couple de VAD

On reprend l'exemple de l'urne avec 10 jetons : 5 noirs et 5 blancs.

Alors nous obtiendrions le tableau suivant pour la loi du couple (X,Y) :

L'illustration de ce cas simple par ce tableau peut nous aider à mieux comprendre certaines notions essentielles.

À l'intersection des lignes X=i et des colonnes Y=j nous avons la probabilité de l'événement (X=i∩Y=j) .  Ce sont les probabilités qui définissent la loi du couple.

Tandis qu'en marge du tableau, nous avons respectivement la loi de Y (dernière ligne) et celle de X (dernière colonne).

Cet exemple peut nous aider à comprendre les liens entre la loi du couple et les lois marginales.