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Mis à jour le 25/04/2019

Découvrez les notions de couple et d'indépendance

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Généralités

Loi d'un couple

Qu'est-ce qu'un couple de variables aléatoires ?

Prenons $\(X \)$ et $\(Y \)$ , deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisable. Alors $\((X, Y)\)$ est appelé couple de variables aléatoires.

Exemple

Considérons une expérience aléatoire : une urne contient 10 jetons, dont 5 jetons blancs et 5 jetons noirs. On tire successivement et sans remise deux jetons. On définit le couple de VAD $\((X,Y) \)$ suivant : $\(X \)$ prend la valeur 0 si le premier jeton est blanc et 1 s'il est noir. De même, $\(Y \)$ vaut 0 si le deuxième jeton est blanc et 1 s'il est noir.

Qu'est-ce que la loi d'un couple de variables aléatoires ?

La loi d'un couple $\((X, Y)\)$ de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $\((\Omega, \mathscr{T}, \mathbb{P})\)$ est donnée par la fonction  $\(F_{(X, Y)}\)$ définie sur $\({\mathbb{R}}^2\)$ par :

 $\(\forall (x , y) \in {\mathbb{R}}^2 , F_{(X, Y)}(x , y) = \mathbb{P}([X \leq x] \cap [Y \leq y])\)$

Indépendance

Définition

Deux variables aléatoires $\(X \)$ et $\(Y \)$ définies sur un espace probabilisé $\((\Omega, \mathscr{T}, \mathbb{P})\)$ sont indépendantes lorsque, pour tous réels $\(x \)$ et $\(y \)$ , on a :

$\(\mathbb{P}([X \leq x] \cap [Y \leq y]) = \mathbb{P}([X \leq x]) \times \mathbb{P} ([Y \leq y])\)$ , soit $\(F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) \times F_Y(y)\)$

Espérance

Linéarité de l'espérance

Si deux variables aléatoires $\(X \)$ et $\(Y \)$ admettent chacune une espérance, alors quels que soient les réels $\(a\)$ et $\(b\)$ , la variable aléatoire $\(aX + bY\)$ admet une espérance, et on a :

 $\(\mathbb{E}(aX+bY) = a\mathbb{E}(X) + b\mathbb{E}(Y)\)$

Espérance d'un produit

Si deux variables aléatoires $\(X \)$ et $\(Y \)$ admettent chacune une espérance, et que, par ailleurs, elles sont indépendantes, alors la variable aléatoire $\(XY \)$ admet une espérance et on a l'égalité :

 $\(\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X) \times \mathbb{E}(Y)\)$

La réciproque de cette proposition est également vraie !

Couple de variables aléatoires discrètes

Comment écrire la loi du couple $\((X,Y)\)$ dans le cas discret

Déterminer la loi du couple  $\((X,Y)\)$ , que l'on appelle par ailleurs également la loi conjointe de $\(X \)$ et $\(Y\)$ , c'est donner, pour les variables aléatoires discrètes $\(X \)$ et $\(Y \)$ définies sur un espace probabilisé $\((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\)$ , la valeur de la probabilité  $\(\mathbb{P}([X = x] \cap [Y = y])\)$  pour tout couple $\((x,y) \)$ de $\(X(\Omega) \times Y(\Omega)\)$.

Pour démontrer que deux VAD sont indépendantes

Pour démontrer l'indépendance de deux VAD définies sur un même espace probabilisé, il suffit de montrer l'égalité suivante :

 $\(\forall (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)\)$$\(\mathbb{P}([X = x] \cap [Y = y]) =\)$   $\(\mathbb{P}([X = x] )\times \mathbb{P}([Y = y])\)$

Lois marginales

Soit (X,Y) un couple de VAD. Alors les lois marginales de X et Y sont données sous forme de sommes.

Pour la VAD $\(X\)$ , nous aurions :

$\(\forall x_i \in X(\Omega), \mathbb{P}([X = x_i] = \sum_{y_i \in Y(\Omega)}{\mathbb{P}([Y = y_i] \cap [X = x_i])}\)$

Et pour Y :

$\(\forall y_i \in Y(\Omega), \mathbb{P}([Y = y_i] = \sum_{x_i \in X(\Omega)}{\mathbb{P}([Y = y_i] \cap [X = x_i])}\)$

Exemple simple de couple de VAD

On reprend l'exemple de l'urne avec 10 jetons : 5 noirs et 5 blancs.

Alors nous obtiendrions le tableau suivant pour la loi du couple $\((X,Y)\)$ :

 $\(X\)$ \ $\(Y\)$

  $\(Y=0\)$

  $\(Y=1\)$

 $\(\mathbb{P}(X=k)\)$

  $\(X=0\)$

  $\(\frac{1}{2} \times \frac{4}{9}=\frac {2}{9}\)$

  $\(\frac{1}{2} \times \frac{5}{9}=\frac{5}{18}\)$

  $\(\frac{2}{9}+\frac {5}{18} = \frac{1}{2}\)$

  $\(X=1\)$

  $\(\frac{1}{2} \times \frac{5}{9} = \frac {5}{18}\)$

  $\(\frac{1}{2} \times \frac{4}{9} = \frac {2}{9}\)$

  $\(\frac{5}{18}+\frac {2}{9} = \frac{1}{2}\)$

  $\(\mathbb{P}(Y=k)\)$

  $\(\frac{2}{9}+\frac {5}{18} = \frac{1}{2}\)$

  $\(\frac{5}{18}+\frac {2}{9} = \frac{1}{2}\)$

$\(1\)$

L'illustration de ce cas simple par ce tableau peut nous aider à mieux comprendre certaines notions essentielles.

À l'intersection des lignes $\(X=i\)$ et des colonnes $\(Y =j \)$ nous avons la probabilité de l'événement $\((X=i \cap Y =j)\)$ .  Ce sont les probabilités qui définissent la loi du couple.

Tandis qu'en marge du tableau, nous avons respectivement la loi de $\(Y \)$ (dernière ligne) et celle de $\(X\)$ (dernière colonne).

Cet exemple peut nous aider à comprendre les liens entre la loi du couple et les lois marginales.

Exemple de certificat de réussite
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