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Covariance de deux variables aléatoires discrètes
Espérance du produit de deux VAD
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires discrètes. Si la variable aléatoire XY possède une espérance, alors cette dernière est définie par :
E(XY)=∑xi∈X(Ω)yj∈Y(Ω)xiyiP([X=xi]∩[Y=yj])
Exemple
On reprend l'exemple du lancer de dé à 6 faces des chapitres précédents. Soit X la VAD qui vaut 1 si on obtient 6, et 0 sinon, et Y la VAD qui vaut 1 si on obtient 5, et 0 sinon.
Ces deux VAD sont de même loi. Elles suivent la loi de Bernoulli de paramètre 16 .
Ici, comme la probabilité que les deux variables prennent la valeur 1 en même temps, autrement dit P([X=1]∩[Y=1]) , est nulle, en appliquant la définition ci-dessus pour le calcul de l'espérance de XY , on aurait ici :
E(XY)=0
Covariance
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires discrètes. On appelle covariance de X et Y le réel noté Cov(X,Y) et défini, s'il existe, par :
Cov(X,Y)=E((X−E(X))(Y−E(Y)))
Formule de Huygens
Si X et Y admettent une covariance, alors on a :
Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)
En pratique, c'est cette formule que l'on utilisera dans les exercices.
Propriétés de la covariance
Symétrie
La covariance est symétrique : Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Covariance et variance
Cov(X,X) = V(X)
Bilinéarité
Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)
Cov(X,aY1+bY2)=aCov(X,Y1)+bCov(X,Y2)
Variance de la somme de deux VAD
Si X et Y sont deux VAD définies sur le même espace probabilisé et admettant des variances, alors d'une part, la covariance de X et Y existe et d'autre part, X + Y admet une variance, et on a :
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)
Corrélation
Dans cette section, nous considérons X et Y comme deux variables aléatoires discrètes admettant des variances non nulles.
On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et Y, le réel noté ρ(X,Y) et défini par :
ρ(X,Y)=Cov(X,Y)√V(X)√V(Y)
Pour tout couple (X,Y) de variables aléatoires, on a −1≤ρ(X,Y]≤1 .
Cas de l'indépendance de deux variables aléatoires
Conséquence sur l'espérance
Si X et Y deux variables aléatoires indépendantes admettant chacune une espérance, alors la variable aléatoire XY admet également une espérance et on a :
E(XY)=E(X)E(Y)
Conséquence sur la covariance
Si X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes, et admettant chacune une variance, alors Cov(X,Y)=0 .
Ce qui peut être interprété de la manière suivante : deux VAD indépendantes ne sont pas corrélées.
La non-corrélation est une condition nécessaire, mais pas suffisante à l'indépendance.
Conséquence sur la variance
Si X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes, et admettant chacune une variance, alors V(X+Y)=V(X)+V(Y) .
